Fermat neden Fermat asallarının asallığından şüphelendi?

Fermat asalları $F_{n}:= 2^{2^{n}}+1$ denklemiyle tanımlanıyorlar. Bu asallar cetvel pergel çizimlerinde önemli bir rol oynar. Gauss'un ispatladığı bir teoreme göre bir düzgün çokgenin cetvel ve pergelle çizilebilmesi için kenar sayısının Fermat asallarının çarpımının $2^{n}$ katı ($n \in {\mathbb N}$) olması yeterlidir. $n=0,1,2,3,4$ için bu dizi sırasıyla 3, 5, 17, 257 ve 65.537 değerlerini veriyor. (Yerölçüsünde daha önce $2 \pi /17$ açısının trigonometrisini çalışmış ve $\cos(2\pi /17)$ değerini karekök hesabı ve diğer aritmetik işlemlerini kullanarak vermiştik. 17 bir Fermat asalıdır.) Fermat bu davranışı gözönüne alarak $F_{n}$ dizisinin her $n$ için asal değer ürettiğini bir konjektür olarak iddia etmiş. Dizinin terimleri çok hızlı büyüdüğü için $n=5$ için dahi Fermat'nın konjektürünü doğrulamak o kadar kolay değil. 1732 yılında Euler $F_{5}=4.294.967.297$ sayısının 641 ile bölündüğünü ispatladı ve dolayısıyla Fermat'nın konjektürünün de yanlış olduğu gösterildi.

Bu postada Fermat'nın neden durup dururken $F_{n}$ dizisindeki terimlerin asallığından şüphelendiğini izah etmeye çalışacağız. Öncelikle daha makul bir diziyi tanımlamakla işe başlayalım. $A_{n}:=2^{n}+1$ olsun. $F_{n} = = A_{2^{n}}$ olduğunu gözleyiniz. Dolayısıyla $A_{n}$ dizisi $F_{n}$ dizisini kapsamaktadır. Şimdi $2^{m} \equiv -1\ ({\rm mod} \ A_{m})$ olduğundan, basitçe $2^{m(2k+1)} \equiv -1 \ ( {\rm mod} \ A_{m})$ olur. Diğer bir ifadeyle $A_{n}$ dizisindeki $A_{m(2k+1)}$ terimlerinin hepsi $A_{m}$ ile bölünürler. O zaman asal olma şüphesi sadece $A_{2km}$ terimlerine kalmaktadır.

Bir önceki paragrafta vardığımız çıkarsama uyarınca $m=1$ koyduğumuzda bütün $A_{2k+1}$ terimlerinin aslında $A_{1}=3$ ile bölündüğünü göstermiş oluyoruz. Geriye asal olma şüphesi $A_{2n}$ dizisine indirgenmiş oluyor. Bu dizinin ilk elemanı $A_{2}=5$ ve asal bir sayı. $A_{2n}$ dizisini de iki alt diziye ayıracağız: $A_{2(2n+1)}$ ve $A_{4n}$. Bu alt dizilerden asal olma şüphesi sadece $A_{4n}$ üzerinde kalıyor. $A_{4n}$ dizisinin ilk terimi 17 ve asal. (Fermat'nın yerinde kim olsa işkellenirdi bu noktadan sonra.)

Bu argümanı yineleyerek kullandığımızda $A_{n}$ dizisinde asal olma şüphesinin sadece $F_{n}=A_{2^{n}}$ sayılarında kaldığını -mesela tümevarımla- kolayca gösterebiliriz. Fermat konjektürünün üzücü olan yönü şu: $n > 4$ için hiç bir $F_{n}$ değerinin asal olduğu henüz gösterilemedi. Belki dizide asal bir terim vardır ama bugüne kadar bulan olmadı...

Sahi Euler nasıl oldu da $F_{5}$ değerinin 641 ile bölündüğünden şüphelendi? Bu konuyu sonra konuşalım. Size 641 ile bölünebilme kuralını vererek kendimi affettirmeye çalışayım. Onluk tabanda $k+1$ haneli $N := a_{k}\ldots a_{0}$ sayısı verilsin. O zaman

$$\begin{eqnarray} \nonumber N &\equiv& (a_{0}-a_{16}+a_{32}-\cdots ) + 10\times (a_{1}-a_{17}+a_{33}-\cdots ) + 100\times (a_{2}-a_{18}+a_{34}-\cdots ) - 282\times (a_{3}-a_{19}+a_{35}-\cdots) \\ \nonumber &-& 256\times (a_{4}-a_{20}+a_{36}-\cdots ) + 4\times (a_{5}-a_{21}+a_{37}-\cdots ) + 40\times (a_{6}-a_{22}+a_{38}-\cdots ) - 241\times (a_{7}-a_{23}+a_{39}-\cdots ) \\ \nonumber &+& 154\times (a_{8}-a_{24}+a_{40}\cdots ) + 258\times (a_{9}-a_{25}+a_{41}-\cdots ) + 16\times (a_{10}-a_{26}+a_{42}-\cdots ) + 160\times (a_{11}-a_{27}+a_{43}-\cdots ) \\ \nonumber &+& 318\times (a_{12}-a_{28}+a_{44}-\cdots ) - 25\times (a_{13}-a_{29}+a_{45}-\cdots ) - 250\times (a_{14}-a_{30}+a_{46}-\cdots ) \\ \nonumber &+& 64\times (a_{15}-a_{31}+a_{47}-\cdots ) \ ({\rm mod} \ 641) \end{eqnarray}$$ olur. Neden ilkokulda 641 ile bölünebilme kuralını bize öğretmedikleri böylece ortaya çıkmış oluyor. Şaka bir yana, bu kuralda sadece 16 tane katsayı var. 320 tane katsayı da olabilirdi. Nitekim 17 ile bölünebilme kuralında 8 tane katsayı vardır. O yüzden halimize şükredelim.

Postayı bitiriken $F_{5}=4.294.967.297$ sayısının gerçekten de 641 ile bölündüğünü kuralımızı uygulayarak gösterelim.

$$\begin{eqnarray} \nonumber F_{5} = 4.294.967.297 &\equiv& 7 + 10 \times 9 + 100 \times 2 - 282\times 7 - 256\times 6 + 4\times 9 + 40\times 4 - 241\times 9 \\ \nonumber &&+ 154\times 2 + 258\times 4 \equiv -3846 \equiv -6\times 641 \equiv 0 \ ({\rm mod}\ 641) \end{eqnarray}$$