Düzgün onyedigenin trigonometrisi

Cetvel ve pergelle eşkenar üçgeni, kareyi, düzgün beşgeni ve altıgeni çizmeyi bize Öklit öğretti. Gauss ise çok genç yaşlarında düzgün onyedigenin cetvel ve pergelle çizilebileceğini ispatladı. Burada cetvel pergel çizimlerinden ziyade düzgün onyedigendeki tepe açısının trigonometrisine bakacağız. Bir çemberi merkezinden 17 eşit parçaya dilimlersek, o zaman düzgün onyedigeni de 17 denk ikizkenar üçgenin yamalanmış hali gibi çizebiliriz. Bu üçgenlerin tepe açısı $\alpha := 2 \pi / 17$ kadardır. Bu açıyı tarif etmek için onun trigonometrik değerlerine, mesela $\cos(\alpha)$ değerine, bakabiliriz. O zaman amacımız netleşti: $\cos(\alpha)$ değerini hesaplamak.

Casey'nin A Treatise on Plane Trigonometry adlı kitabının 220. ve 221. sayfalarında bu hesaplamanın nasıl yapılacağına dair bir algoritma var. Kitap bir trigonometri ve cebir harikası, basım tarihi 1888 ve şimdiki ders kitaplarına kıyasla da son derece kaliteli. Casey bu algoritmayı alıştırmalar şeklinde sunmuş. Ben de o alıştırmaları burada çözerek $\cos(2\pi/17)$ değerinin nasıl hesaplanacağını izah etmeye çalışacağım. Öncelikle merkezi bir lemma ile işe başlıyalım.

Lemma: $n$ tamsayı olsun ve $\gamma:=2\pi/(2n+1)$ tanımlayalım. O zaman $$\begin{equation} \sum_{j=1}^{n} \cos(j\gamma) = -\frac{1}{2} \end{equation}$$ olur.
İspat: Verilen toplamı $\sin(\gamma)$ ile çarpıp bölelim ve trigonometrik fonksiyonların $\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$ özdeşliğinden faydalanalım. $$\begin{eqnarray} \nonumber \frac{1}{\sin(\gamma)}\sum_{j=1}^{n} \sin(\gamma) \cos(j\gamma) &=& \frac{1}{2\sin(\gamma)} \left\{ \sum_{j=1}^{n}\sin((j+1)\gamma) - \sum_{j=1}^{n}\sin((j-1)\gamma)\right\} \\ \nonumber &=&\frac{1}{2\sin(\gamma)} \left\{ \sum_{k=2}^{n+1}\sin(k\gamma) - \sum_{k=0}^{n-1}\sin(k\gamma)\right\} \\ \nonumber &=&\frac{1}{2\sin(\gamma)} (\sin((n+1)\gamma)+\sin(n\gamma)-\sin(\gamma)) = - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$$ İspatı bitirmek için $(n+1)\gamma+n\gamma=2\pi$ bilgisini kullandık.

Biz bu lemmayı aşağıdaki formuyla kullanacağız. $$\begin{equation} \cos(\alpha) +\cos(2\alpha) +\cos(3\alpha) +\cos(4\alpha) +\cos(5\alpha) +\cos(6\alpha) +\cos(7\alpha) +\cos(8\alpha) = -\frac{1}{2} \label{toplam} \end{equation}$$

Birinci aşamada

$$\begin{equation} x^{2}+x-4=0 \label{kuad1} \end{equation}$$ denkleminin köklerini $\cos(j\alpha)$ trigonometrik polinomları cinsinden temsil etmekle işe başlıyoruz. $$\begin{eqnarray} a_{1} &:=& 2(\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)+\cos(4\alpha)+\cos(8\alpha)) \ \ \ {\rm ve} \\ a_{2} &:=& 2(\cos(3\alpha)+\cos(5\alpha)+\cos(6\alpha)+\cos(7\alpha)) \end{eqnarray}$$ tanımları verildiğinde ($\ref{toplam}$) nolu denklem uyarınca $a_{1}+a_{2}=-1$ olduğunu gözleyiniz. Dolayısıyla $a_{1}$ ve $a_{2}$ ($\ref{kuad1}$) nolu denklemin kökler toplamına uymaktadır. Tahmin ettiğiniz gibi kökler çarpımına da bakacağız. Ama bu biraz kıllı. $$\begin{eqnarray}\nonumber a_{1}a_{2} &=& 4(\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)+\cos(4\alpha)+\cos(8\alpha)) (\cos(3\alpha)+\cos(5\alpha)+\cos(6\alpha)+\cos(7\alpha)) \\ \nonumber &=& 4(\cos(\alpha)\cos(3\alpha)+\cos(\alpha)\cos(5\alpha)+\cos(\alpha)\cos(6\alpha)+\cos(\alpha)\cos(7\alpha) \\ \nonumber &&+ \cos(2\alpha)\cos(3\alpha)+\cos(2\alpha)\cos(5\alpha)+\cos(2\alpha)\cos(6\alpha)+\cos(2\alpha)\cos(7\alpha) \\ \nonumber &&+ \cos(4\alpha)\cos(3\alpha)+\cos(4\alpha)\cos(5\alpha)+\cos(4\alpha)\cos(6\alpha)+\cos(4\alpha)\cos(7\alpha) \\ \nonumber &&+ \cos(8\alpha)\cos(3\alpha)+\cos(8\alpha)\cos(5\alpha)+\cos(8\alpha)\cos(6\alpha)+\cos(8\alpha)\cos(7\alpha)) \\ \nonumber &=&2( \cos(4\alpha)+\cos(2\alpha)+\cos(6\alpha)+\cos(4\alpha)+\cos(7\alpha)+\cos(5\alpha)+\cos(8\alpha)+\cos(6\alpha) \\ \nonumber &&+\cos(5\alpha)+\cos(\alpha)+\cos(7\alpha)+\cos(3\alpha)+\cos(8\alpha)+\cos(4\alpha)+\cos(9\alpha)+\cos(5\alpha) \\ \nonumber &&+\cos(7\alpha)+\cos(\alpha)+\cos(9\alpha)+\cos(\alpha)+\cos(10\alpha)+\cos(2\alpha)+\cos(11\alpha)+\cos(3\alpha) \\ \nonumber &&+\cos(11\alpha)+\cos(5\alpha)+\cos(13\alpha)+\cos(3\alpha)+\cos(14\alpha)+\cos(2\alpha)+\cos(15\alpha)+\cos(\alpha)) \\ \nonumber &=&2(4\cos(\alpha)+3\cos(2\alpha)+3\cos(3\alpha)+3\cos(4\alpha)+4\cos(5\alpha)+2\cos(6\alpha)+3\cos(7\alpha) +2\cos(8\alpha) \\ \nonumber &&+2\cos(9\alpha)+\cos(10\alpha)+2\cos(11\alpha)+\cos(13\alpha)+\cos(14\alpha)+\cos(15\alpha)) \\ \nonumber &=&8(\cos(\alpha) +\cos(2\alpha) +\cos(3\alpha) +\cos(4\alpha) +\cos(5\alpha) +\cos(6\alpha) +\cos(7\alpha) +\cos(8\alpha)) \\ &=&-4 \end{eqnarray}$$ Bu denklemde $\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$ ve $\alpha$ açısının özel değerinden ötürü $\cos(j\alpha)=\cos((17-j)\alpha)$ özdeşlikleri ile ($\ref{toplam}$) nolu denklemden faydalandık. $a_{1}$ ve $a_{2}$ hem kökler toplamını hem de kökler çarpımını sağlıyorlar. O zaman bunlar ($\ref{kuad1}$) nolu denklemin köküdür. Bariz olanı ifade edelim. $$\begin{eqnarray} a_{1} &&= \frac{-1+\sqrt{17}}{2} \\ a_{2} &&= \frac{-1-\sqrt{17}}{2} \end{eqnarray}$$

Algoritmanın ikinci aşamasında

$$\begin{eqnarray} b_{1} &:=& 2(\cos(\alpha)+\cos(4\alpha)) \\ b_{2} &:=& 2(\cos(2\alpha)+\cos(8\alpha)) \end{eqnarray}$$ tanımlıyoruz ve bu niceliklerin $$\begin{equation} x^{2}-a_{1}x-1=0 \label{kuad2} \end{equation}$$ denkleminin köklerini temsil ettiğini gösteriyoruz. Yöntem bir önceki basamaktakiyle tamamen aynı. Öncelikle $b_{1}+b_{2}=a_{1}$ net bir şekilde gözleniyor. Ardından $$\begin{eqnarray} \nonumber b_{1}b_{2} &=& 4(\cos(\alpha)+\cos(4\alpha))(\cos(2\alpha)+\cos(8\alpha)) \\ \nonumber &=& 4(\cos(\alpha)\cos(2\alpha)+\cos(\alpha)\cos(8\alpha)+\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)+\cos(4\alpha)\cos(8\alpha)) \\ \nonumber &=&2(\cos(3\alpha)+\cos(\alpha)+\cos(9\alpha)+\cos(7\alpha)+\cos(6\alpha)+\cos(2\alpha)+\cos(12\alpha)+\cos(4\alpha)) \\ \nonumber &=&2(\cos(\alpha) +\cos(2\alpha) +\cos(3\alpha) +\cos(4\alpha) +\cos(5\alpha) +\cos(6\alpha) +\cos(7\alpha) +\cos(8\alpha)) \\ &=&-1 \end{eqnarray}$$ ile kökler çarpımına da uyduğundan ispatımız tamamlanmış oluyor. $$\begin{eqnarray} b_{1} &=& \frac{a_{1}+\sqrt{a_{1}^{2}+4}}{2} \\ b_{2} &=& \frac{a_{1}-\sqrt{a_{1}^{2}+4}}{2} \end{eqnarray}$$ denklemlerinde $a_{1}$ sayısal değeri bilindiğinden, $b_{1}$ ve $b_{2}$ de sadece karekök işlemi kullanılarak hesaplanmış olmaktadır. Okur bir alıştırma olarak $$\begin{equation} x^{2}-a_{2}x-1=0 \label{kuad2.5} \end{equation}$$ denkleminin köklerinin $$\begin{eqnarray} c_{1} &:=& 2(\cos(3\alpha)+\cos(5\alpha)) = \frac{a_{2}+\sqrt{a_{2}^{2}+4}}{2}\\ c_{2} &:=& 2(\cos(6\alpha)+\cos(7\alpha)) = \frac{a_{2}-\sqrt{a_{2}^{2}+4}}{2} \end{eqnarray}$$ olduğunu göstermelidir. Burada $c_{1}$ ve $c_{2}$ sayısal değerlerinin hesaplanabildiğini vurguluyoruz.

Algoritmanın üçüncü ve son aşamasında

$$\begin{equation} x^{2}-b_{1}x+c_{1}=0 \label{kuad3} \end{equation}$$ denkleminin köklerini temsil etmeye çalışacağız. $$\begin{eqnarray} d_{1} &:=& 2 \cos(\alpha) \\ d_{2} &:=& 2 \cos(4\alpha) \end{eqnarray}$$ tanımlayalım. $d_{1}+d_{2}=b_{1}$ olduğu barizdir. Devamla $d_{1}d_{2} = 4\cos(\alpha)\cos(4\alpha) = 2(\cos(3\alpha)+\cos(5\alpha))=c_{1}$ olduğundan kökler temsil edilmiş olur. Ama $$\begin{equation} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}d_{1} = \frac{b_{1}+\sqrt{b_{1}^{2}-4c_{1}}}{4} \end{equation}$$ olduğundan, hesaplamamız sonlanmıştır.