Çaprazlama duran iki merdiven - 2: "Biz Sturmcular!"

Daha önce bu blogda Çaprazlama duran iki merdiven - 1 başlıklı postada Martin Gardner'ın bir kitabında gördüğüm bir problemi çalışmış ve problemin çözümünü dördüncü dereceden bir denklemin kök bulma problemine kadar indirgemiştik. Orada kullandığımız notasyonla çözmemiz gereken denklem şöyle idi:

$$\begin{equation} k^{4} - 2ck^{3} + (a^{2}-b^{2})k^{2} - 2(a^{2}-b^{2})ck + (a^{2}-b^{2})c^{2} = 0 \end{equation}$$ Burada $c>0$ ve $a>b>0$ şartlarını not edelim. Ayrıca $k$ bilinmeyeninin sadece $k>c$ şartını sağlayan değerlerini çözüm kabul edeceğimiz de problemin geometrisinden anlaşılmalıdır.

(1) nolu denklemin parametre sayısı üç: $a,b,c$. Ama dikkatle bakıldığında $a$ ve $b$ ayrı ayrı değil hep $a^{2}-b^{2}=:d>0$ formunda bulunuyorlar. O zaman biz (1) nolu denklemi şöyle de ifade edebiliriz.

$$\begin{equation} k^{4} - 2ck^{3} + dk^{2} - 2cdk + c^{2}d = 0 \end{equation}$$ (2) nolu denklemle çalışmak daha avantajlıdır. Çünkü burada parametre sayısı üçten ikiye düşmüştür. Devamla, problemimizdeki uzunlukları $c$ biriminde ölçüp, $k =: cx$ ve $d =: c^{2}D$ birimsiz niceliklerini (2) nolu denklemde yerine korsak, o zaman sadeleştirmelerden sonra aşağıdaki denkleme ulaşıyoruz. $$\begin{equation} g(x) := x^{4} - 2x^{3} + Dx^{2} - 2Dx + D = 0 \end{equation}$$ (3) nolu denklemde sadece bir tane parametre var! Cebirsel denklemlerden parametreleri ayıklayabildiğimiz kadar ayıklamak problemin hammaliyetini her zaman azaltacaktır ve asla boşa bir uğraş değildir. Problemin başında koyduğumuz $k>c$ şartının yeni değişkenlerde $x>1$ şeklinde okunması gerektiğini gözleyiniz. Gardner, kitabında (1) nolu denklemin kestirme (approximation) bir yöntemle çözülebileceğini söylüyor. Yazara katılmamak için üç nedenimiz var.

• Vahşi batının en hızlı hesap makinesi çeken mühendisi gibi kökleri soruşturmadan önce, aradığımız şartları sağlayan kökler var mı, öncelikle onu bir kontrol etmemiz gerekir.
• Aradığımız şartları sağlayan köklerden en çok bir tane olduğunun da garantisi yok. O zaman bulduğumuz sonucun tekliğini de (uniqueness, biriciklik) soruşturmamız gerekiyor.
• Yaklaşık 500 yıl önce Lodovico Ferrari ve Gerolamo Cardano kübik (üçüncü dereceden) ve kuartik (dördüncü dereceden) denklemleri cebirsel yöntemle, sadece kök almayı kullarak, çözmüşlerdir! Kapalı formu bilinen bir çözümde kestirme yöntemi kullanmak manasızdır. Zira kestirme yöntemler çözümü kapalı formda ifade edilemeyen problemler için vardır.

Varlık ispatına başlamadan önce çalıştığımız polinomun hiç negatif kökü olmadığını not edelim. Çünkü

$$\begin{equation*} g(-\xi)= \xi ^{4} + 2\xi ^{3} + D\xi ^{2} + 2D\xi + D > 0 \end{equation*}$$ olduğundan, negatif bir sayı $g(x)=0$ denklemini çözemez. O zaman $g$ polinomunun (varsa) bütün gerçel kökleri pozitif olmak durumundadır.

Bolzano'nun teoremi ile devam edeceğiz.

Sürekli bir fonksiyon bir aralıkta işaret değiştiriyorsa, o zaman o aralıkta en az bir tane kökü vardır.

Süreklilik şartını hiç düşünmüyoruz çünkü süreklilik ve türevlenebilirlik yönünden polinomlar dünyanın en güzel fonksiyonları. Biz Bolzano'nun teoremini şöyle kullanacağız: $g$ polinomu için $g(x_{1})g(x_{2}) < 0$ ise, o zaman $(x_{1},x_{2})$ aralığında $g$ polinomunun en az bir kökü vardır. Maalesef Bolzano teoreminin teorik uygulamalarında sistematik bir yöntem yok. Onun yerine sezginizle deneme yanılma metodunu kullanmanız gerekiyor. Şimdi $g(0)=D>0$ ve $g(1)=-1<0$ olduğundan, $g$ polinomunun $(0,1)$ aralığında en az bir kökünün olduğunu gözleyiniz. Ayrıca $g(2)=D>0$ olduğundan, $(1,2)$ aralığında da en az bir kök vardır. $(0,1)$ aralığındaki kök (ya da kökler) problemin fiziksel şartlarına uymadığı için kabul edilemez. Öten yandan $x>1$ şartını sağladığı için, $(1,2)$ aralığındaki kökü (ya da kökleri) çözüm olarak kabul edeceğiz.

Biriciklik ispatına geçmeden önce $r(x):=g(x)/(x-1)^{2}$ tanımlayalım. $x>1$ ise, o zaman $g(x)=0 \iff r(x)=0$ olduğunu gözleyiniz. Diğer bir ifadeyle $r(x)$ ve $g(x)$ aynı kökleri paylaşırlar. Şimdi

$$\begin{equation} r^{\prime}(x) = \frac{2x^{2}}{(x-1)^{3}}(x^{2}-3x+3) \end{equation}$$ türevini kolayca alabiliriz. Bu denklemdeki kuadratik terimin, $x^{2}-3x+3$, diskriminantı $\Delta = 3^{2}-4 \cdot 3 = -3 < 0$ ve başkatsayısı pozitif olduğundan hiç kökü yoktur. Dolayısıyla $x>1$ için $r^{\prime}(x)>0$ diyebiliriz. Sözel olarak ifade etmek gerekirse, $x>1$ için $r(x)$ artan bir fonksiyondur.

$r(x)$ fonksyionunun $(1,2)$ aralığında en az bir kökü olduğunu biliyoruz. Bu köke $\xi_{1}$ diyelim. Bu kök biriciktir. Olmayana ergiden (abese irca, reductio ad absurdum) gideceğiz. Eğer mümkünse $(1,2)$ aralığında, $\xi_{2}$ diyelim, başka bir kök daha olsun. O zaman Rolle'nin teoremi uyarınca $r^{\prime}(\eta)=0$ eşitliğini sağlayan bir $\eta \in (\xi_{1},\xi_{2}) \subset (1,2)$ değeri vardır. Ama $r$ çalıştığımız aralıkta artan bir fonksiyon olduğu için bu bir çelişkidir. Demek ki $(1,2)$ aralığında sadece bir tane kök varmış. Nisbeten benzer bir yöntemle $(2,\infty)$ aralığında $r(x)$ (dolayısıyla $g(x)$) fonksiyonunun hiç kökünün olmadığının ispatını da okura bir alıştırma olarak bırakıyorum.

Toparlayalım. $g$ polinomunun hiç negatif kökü yok. $(0,1)$ aralığında pozitif kökü (ya da kökleri) olsa dahi, biz onları dışlıyoruz. $(1,2)$ aralığında tam olarak bir tane kökü var, ki biz de onu aradığımız çözüm olarak kabul edeceğiz. Bu polinomun başka da gerçel kökü yok.

Açık konuşmak gerekirse (1) nolu denklemi ilk defa Gardner'ın kitabında gördüğümde, biriciklik ispatını Sturm teoremiyle yapabileceğimi düşündüm. Her kök bulma problemine Sturm teoremini önerdiğim için, Osman Çağlar Akın Hocam bana "Siz Sturmcular!" derdi. Yazının başlığı o hatırama atıfta bulunuyor. Belirtmek lazım ki Sturm teoremi bu postada kullandığımız Bolzano ve Rolle teoremlerine kıyasla çok daha kuvvetli ve pahalı bir yöntemdir. Sıra gelirse onu da bir gün çalışırız.

Aradığımız çözümün varlığı ve birliği ile uğraşacağız derken, çözümün bizzat kendisini hesaplamaya yine sıra gelmedi. Ferrari-Cardano yöntemi ile dördüncü dereceden kök bulma algoritmasını da başka bir zaman tarif edelim.

Ödev: $g$ polinomunun $(0,1)$ aralığında da sadece bir tane kökü olduğunu ispatlayınız.