31 Ağustos 2015 Pazartesi

Elips parçasından elipsin kütle merkezini cetvel ve pergel ile bulma

Daha önce bu blogda Kepler kanunları çerçevesinde elipsi çalışmış ve orijinin odaklardan birisiyle çakışık olduğu analitik düzlemde elipsin denklemini türetmiştik. Böyle bir yaklaşım astronomik uygulamalarda çok büyük kolaylık sağlıyordu çünkü referans noktamız güneş gezegenlerin yörüngesinin (kütle) merkezinde değil, odaklardan birisindeydi.

Şöyle bir problemle bugünkü konuyu motive edelim. Pluto'yu gözlüyorsunuz ve onu ilk keşfeden astronom sizsiniz. Kepler kanunlarından ve Newton'ın genel çekim teorisinden biliyorsunuz ki Pluto'nun yörüngesi bir elips, en azından yaklaşık olarak. Hemen şu soruyu soruyorsunuz: Pluto'nun yörüngesinin majör ve minör eksenleri nerede? Ah, unutmadan söyleyelim, bu farazi keşfinizde her şey canınızın istediği gibi değil. Güneş nedense kararmış, onu referans alamıyorsunuz. Yapabileceğiniz tek şey Pluto'nun yörüngesini bir süreliğine takip edip bir elips parçası çizmek. Yörüngenin parametrelerini çıkarabilmek için bir Pluto yılı bekleyecek kadar zamanınız yok. Sonuçta bir Pluto yılı yaklaşık 250 Dünya yılı tutuyor. Ne yapıp edip elips parçasından yörüngeyle ilgili parametreleri çıkarmanız gerekiyor. Ne yaparsınız?

Bu problemi kurdum ve çözmeden önce parabolde yaptıklarımızı (bak. Problem 17 ve 19) yineleyeceğimizi sandım ama durum o kadar kolay değildi. Öte yandan fazla da şikayet etmenin alemi yok. Sonuçta dermansız derde düşmüş değiliz! 250 yıl bekleyip Pluto'nun yörüngesinin ortaya çıkmasını bekleyebiliriz... Mürailik bir yana, biz işe operasyonel bazı lemmata ile başlayalım.

Lemma 1: Yarı majör ve yarı minör eksenleri sırasıyla $a$ ve $b$ olan elips ile $l: \ y=mx+n$ doğrusunun kesişim noktaları $P$ ve $Q$ olsun. O zaman \begin{eqnarray}\nonumber x_{P,Q} &=& \frac{-a^{2}mn \mp ab\sqrt{\Delta}}{\Delta + n^{2}} \\ \nonumber y_{P,Q} &=& \frac{b^{2}n \mp abm\sqrt{\Delta}}{\Delta + n^{2}} \end{eqnarray} ile verilir. Burada $\Delta := a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2}$ ile tanımlanıyor.
İspat: Elips ile doğru kesişiyorlarsa, kesiştikleri noktaların koordinatları hem elipsin hem de doğrunun denklemini sağlar. Koordinatları $(\xi,\eta)$ olan bir noktada elips ve doğru kesişsin. O zaman \begin{equation*} b^{2}\xi^{2} + a^{2}(m\xi+n)^{2} = a^{2}b^{2} \end{equation*} denklemini yeniden düzenlediğimizde aşağıdaki kuadratik denklemle karşılaşıyoruz. \begin{equation*} (b^{2}+a^{2}m^{2})\xi^{2} + 2a^{2}mn\xi + a^{2}(n^{2}-b^{2}) = 0 \end{equation*} Bu denklemin diskriminantı $4a^{4}m^{2}n^{2}-4a^{2}(n^{2}-b^{2})(a^{2}m^{2}+b^{2})$ ya da $4a^{2}b^{2}(a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2})$. Kuadratik formül kullanılarak $x_{P,Q}$ noktasını veren denklem ispatlanır. Bulduğumuz nokta doğru üzerinde olduğundan $\eta = m\xi + n$ ile de $y_{P,Q}$ noktasını veren denklemin ispatı tamamlanmış olur. QED

İşaret: $\Delta < 0$ ise, o zaman tabii ki elips ile doğru kesişmezler. Öte yandan $\Delta = 0$ elips ile doğrunun teğet olma şartıdır.

Şimdi birbirine paralel olacak şekilde elipse kiriş iki doğru, $c_{1}$ ve $c_{2}$ alalım. Bu doğruların eğimleri, $m$ olsun, aynıdır. Ama kesme noktaları, $n_{1}$ ve $n_{2}$ diyelim, farklıdırlar. Elips içinde birbirine paralel iki kirişin orta noktaları, $U_{1}$ ve $U_{2}$ olsun, Lemma (1) kanalıyla kolayca hesaplanılabilir. Örneğin \begin{eqnarray}\nonumber x_{U_{1}} &=& -\frac{a^{2}mn_{1}}{a^{2}m^{2}+b^{2}} \\ \nonumber y_{U_{1}} &=& \frac{b^{2}n_{1}}{a^{2}m^{2}+b^{2}} \end{eqnarray} olur. Devamla $U_{1}$ ve $U_{2}$ noktalarından geçen doğru, adına $l$ diyelim, analitik düzlemde $y = Mx + N$ denklemiyle verilsin. O zaman bu doğrunun eğimi aşağıdaki gibi olur. \begin{equation*} M=\frac{y_{U_{2}}-y_{U_{1}}}{x_{U_{2}}-x_{U_{1}}} = -\frac{b^{2}}{a^{2}m} \end{equation*} Yani kirişlerin orta noktalarını birleştiren doğrunun eğimi bu kirişlerin kesme noktalarından bağımsızdır. Ama daha önemlisi $N = y_{U_{1}}-Mx_{U_{1}}$ heaplanırsa tam olarak $N=0$ olduğu ortaya çıkar! Diğer bir ifadeyle

Lemma 2: Elips içinde birbirine paralel iki kirişin orta noktalarını birleştiren doğru, elipsin kütle merkezinden geçer.

Bu fikirleri kullanarak verilen bir elips parçasının kütle merkezini cetvel ve pergelle tayin edebiliriz.

Teorem 1: (Elips parçasından elipsin kütle merkezinin bulunması.)
  1. Verilen bir elips parçasının üstünde alınan iki farklı noktadan ($P$ ve $Q$) geçen kiriş ve bu kirişin orta noktası ($U$) tespit edilir. Bu kirişe paralel ikinci bir kiriş daha çizilir ve orta noktası $V$ tespit edilir. $U$ ve $V$ noktalarından geçen doğru $l_{1}$ çizilir.
  2. Yukarıdaki işlemler $PQ$ kirişine paralel olmayan (ama kendi aralarında paralel) başka iki kiriş için de tekrarlanır ve bu iki kirişin orta noktalarından geçen $l_{2}$ doğrusu çizilir.
  3. $l_{1}$ ve $l_{2}$ elipsin kütle merkezinde kesişirler.

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder