Cetvel ve pergel ile parabol parçasındaki bir noktaya teğet çizimi

Geoffrey Taylor'ın hikayesini anlatırken bir ters çember problemi çözmüştük. Küresel bir ateş topunun fotoğrafı vardı ve bizim bu ateş topunun merkezini ve yarıçapını bulmamız gerekiyordu. Bu postada da benzer bir ters parabol problemi çalışacağız. Bize bir parabol veriliyor. Ama bu parabolün $x$ ve $y$ eksenlerini silmişler. Dahası parabolün hepsini de değil sadece bir parçasını vermişler. Sonra da şu soruyu sormuşlar: Bu parabol parçasının üstünde bir nokta veriliyor. Sadece cetvel ve pergel kullanarak parabole bu noktadan bir teğet çiziniz. Bu cetvelin Öklit cetveli olduğunu, yani uzunluk ölçmeyip sadece önceden tespit edilen iki noktayı birleştirerek düz bir doğru (ya da doğru parçası) çizebildiğini, pergelin de ayaklarıyla uzunluk taşımadığını vurgulayalım.

Gerekli çizimleri burada tek tek açıklayacağız. Ama çizimlerimizin doğruluğunu ispatlamak için analitik geometriyi kullanacağız. Kabul edelim ki bu çok da klasist bir çözüm değil. Ama klasik bir yaklaşım bu yazının uzunluğunu rahatlıkla iki kat arttırırdı. İşe parabollerin analitik formunu olabildiğince sadeleştirmekle başlıyoruz.

Lemma 1: $y=ax^{2}+bx+c$ formundaki bütün paraboller eksen kayması ve ölçek değişimi gibi dönüşümlerle $Y=X^{2}$ formuna getirilebilirler.
İspat: $x=:\xi - \tfrac{b}{2a}$ ile $x$ eksenini kaydıralım. (Bu dönüşüme cebir literatüründe von Tschirnhaus ya da Tschirnhausen dönüşümü denir.) $$\begin{equation*} y = a \left(\xi - \frac{b}{2a}\right)^{2} + b\left(\xi-\frac{b}{2a}\right) + c = a\xi^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a} \end{equation*}$$ Şimdi $y =: \eta + c - \tfrac{b^{2}}{4a}$ dönüşümü ile $y$ eksenini kaydıralım. O zaman barizdir ki bu eksenlerde parabolün denklemi $\eta = a \xi^{2}$ olur. Nihayet ölçü birimimizi $\xi =: X/a$ ve $\eta =: Y/a$ şeklinde değiştirirsek $Y=X^{2}$ ispatlanır. QED

İşaret: $xy \to \xi \eta \to XY$ dönüşümleri, parabol dediğimiz somut nesneyi değiştirmiyorlar. O, olduğu gibi kalıyor. Öte yandan $xy$ düzleminde üç parametreye bağlı olan parabol denklemi, $XY$ düzleminde hiç bir parametreye bağlılık göstermiyor. Bu hesaplamalarımızda büyük kolaylık sağlayacaktır.

Günlük hayatta bize paraboloid bir ayna ya da Boğaziçi Köprüsü gibi parabol şeklinde olan bir asma köprü verildiğinde hiç kimse bu nesnelerin $x$ ve $y$ eksenlerini ya da tepe noktalarını vermeyecektir. Ama parabollerle ilgili pek çok canalıcı mesele, örneğin odak noktaları gibi, simetri ($y$) eksenlerinde düğümlendiği için bir parabol parçasının simetri eksenini bulmak aslında epeyce önemli bir iş. Burada şimdilik simetri eksenini bulmayacağız. Ama ona paralel doğrular bulmakla yetineceğiz.

Teorem 1: (Parabolün simetri eksenine paralel bir doğru bulma.) Parabol parçası üzerinde farklı iki nokta, $Q$ ve $R$ diyelim, alınsın ve $QR$ kirişinin orta noktası, ona da $U$ diyelim, tespit edilsin. İkinci olarak parabol üzerinde $Q$ ve $R$ noktalarından farklı, adına $S$ diyelim, üçüncü bir nokta alınsın ve $S$ noktasından $QR$ kirişine paralel bir doğru çizilsin. Söz konusu doğru parabolü $T$ noktasında kessin ve $ST$ kirişinin orta noktasına da $V$ diyelim. Son olarak $V$ ve $U$ noktalarından geçen doğru parçası, adına $s_{1}$ diyelim, ya parabolün simetri eksenidir ya da ona paraleldir.
İspat: $QR$ kirişinin uzatılmasıyla elde edilen doğrunun denklemi $c_{Q}: \ y=mx+n$ olsun. Burada $m$ ve $n$ değerleri bize veriliyor. O zaman bu doğrunun $y=x^{2}$ parabolüyle kesişim noktaları ikinci dereceden $x^{2}=mx+n$ denkleminin çözümüyle kolayca bulunabilir: $x_{Q,R} = \tfrac{1}{2}(m \mp \sqrt{\Delta})$. Burada diskriminant $\Delta := m^{2}+4n$ denklemiyle tanımlanıyor ve $x_{Q}$ denildiğinde $Q$ noktasının $x$ koordinatı anlaşılmalıdır. Kurulum gereği $x_{U} = \tfrac{1}{2}(x_{Q}+x_{R})$ olduğundan $x_{U} = \tfrac{1}{2}m$ olur. Dikkat edilirse $U$ noktasının $x$ koordinatı sadece $c_{Q}$ doğrusunun eğimine bağlıdır. Yine kurulum gereği $ST$ kirişinin uzatılmasıyle elde edilen doğru $c_{Q}$ doğrusuna paralel olacağından, onun da eğimi $m$ olmak zorundadır. O zaman $x_{V}=m$ olur. Şimdi $s_{1}$ doğrusu $V$ ve $U$ doğrularından geçiyorsa eğimi sonsuzdur. O zaman $s_{1}$ doğrusu ya parabolün simetri ekseni olan $y$ eksenidir ya da ona paraleldir. QED

İşaret: Bu teoremde algoritmik bir sıralamayla verilen işlemlerin tamamen Öklit'in bize öğrettiği cetvel-pergel çizimleriyle yapılabileceğini gözleyiniz. Hatta öyle ki, bu işlemler için cetvelin düz kenarlı olması yeterli. Diğer bir ifadeyle cetvelle uzunluk ölçmüyoruz.

Teorem 2: (Parabolün üstünde verilen bir noktadan geçen ve simetri eksenine paralel doğruyu bulma.) Bir parabol parçası ve onun üzerinde bir $P$ noktası verilsin. (1) nolu teoremde tarif edildiği gibi parabolün simetri eksenine paralel bir doğru, adına $s_{1}$ diyelim, bulunsun ve bu doğru parabolü $p$ noktasında kessin. Genellikle $P \ne p$. İkinci olarak $P$ noktasından geçen ve $s_{1}$ doğrusuna paralel ikinci bir doğru daha, adına $s_{2}$ diyelim, kurulsun. Aranılan doğru $s_{2}$ doğrusudur.
İspat: Bariz. QED

Parabol üstünde verilen bir noktadan $y$ eksenine paralel bir doğru çizmeyi tarif ettik. Aynı noktaya teğet çekmek için küçük bir ön hazırlık yapmamız gerekiyor.

Lemma 2: Parabole $P:=(\xi,\xi^{2})$ noktasında çekilen teğetin denklemi $t_{P}: \ y = 2 \xi x - \xi^{2}$ ile verilir.
İspat: Aradığımız teğetin denklemi $y = mx+n$ olsun. Bu teğet parabole sadece $P$ noktasında dokunduğuna göre, $\xi^{2}=m\xi+n$ denkleminin sadece bir çözümü vardır. Bu ikinci dereceden cebirsel ifadenin diskriminantı $\Delta:=m^{2}+4n$ ise, o zaman teğet olma şartı $\Delta =0 \iff n=-\tfrac{1}{4}m^{2}$ ile verilir. Parabol ve doğrunun kesişimlerini bir kere daha kullanalım: $\xi^{2} = m\xi - \tfrac{1}{4}m^{2} \iff (m-2\xi)^{2}=0$ ya da $m=2\xi$ bulunur. QED

Şimdi bu lemma ve daha önce ispatladığımız önermeleri kullanarak cetvel ve pergelle parabole verilen bir noktadan teğet çekmeyi tarif edeceğiz.

Teorem 3: (Parabolün üstünde verilen bir noktaya teğet çekme.) Bir parabol parçası ve o parabol parçasının üzerinde bir $P$ noktası verilsin. (2) nolu teoremde tarif edildiği gibi bu noktadan parabolün simetri eksenine paralel, adına $s$ diyelim, bir doğru parçası çizilsin. $P$ noktasından geçen ve $s$ doğrusuna dik $r$ doğrusu çizilsin. $r$ doğrusu üzerinde $|AP|=|PB|$ şartını sağlayacak şekilde $A$ ve $B$ noktaları bulunsun. ($A$ noktası parabolün içinde, $B$ noktası dışında olmalıdır.) $A$ ve $B$ noktalarından geçen ve $r$ doğrusuna dik doğrular parabolü $Q$ ve $R$ noktalarında kessinler. $QR$ kirişi parabole $P$ noktasından çekilen teğete paraleldir.
İspat: $QR$ kirişinin orta noktası $V$ olsun. Kurulum gereği $P$ noktası $AB$ doğru parçasının tam ortasında olduğundan, üçgenlerin benzerliği kullanılarak $x_{V}=x_{P}$ olduğu rahatça ispatlanılabilir. (1) nolu teoremin ispatında da gösterildiği gibi $QR$ kirişinin eğimi $2x_{V}=2x_{P}$ olmalıdır. Ama lemma (2) uyarınca bu aynı zamanda parabole $P$ noktasından çekilen teğetin eğimi ile aynıdır. Temel Öklit çizimlerinin imkanları kullanılıp, $P$ noktasından geçen ve $QR$ kirişine paralel bir doğru çizilerek ispat tamamlanır.