Bu ve bu postayı takip eden postada Lehmer'in rasyonel üçgenler üzerine yaptığı 1899 tarihli çalışmayı inceleyeceğiz. Makale meşhur Annals of Mathematics dergisinde (ikinci seri) basılmış ve başlığı Rational Triangles
. Yazar Derrick Norman Lehmer (1867 – 1938) doktorasını 1900 tarihinde Chicago Üniversitesi'nde meşhur matematikçi Eliakim Hastings Moore'dan aldı. Moore'un öğrencileri arasında Lehmer'in yanı sıra daha önce yerölçüsünde doktora tezinin bir bölümünü anlattığımız Richard P. Baker ve ergodik teoriye ve dinamik sistemlere katkılarıyla tanınan George D. Birkhoff da var. Lehmer, daha sonra kısaca Berkeley diye bilinen (Berkeley, California Üniversitesi adlı) kurumda çalışmaya başlamış ve ilerleyen yıllarda bu üniversitenin matematik bölümünün başkanlığını da yürütmüştür. Oğlu Derrick Henry Lehmer de tıpkı babası gibi sayılar teorisi branşında çalışmış, nisbeten kısa süreliğine de olsa Chicago Üniversitesi'nde yüksek lisans deneyimi edinmiş ve (şaka gibi ama) Berkeley'in matematik bölümünde başkanlık yapmıştır. Kitaplarıyla nesiller boyu Bilkent Üniversitesi Fen Fakültesi öğrencilerinin üzerine iz çıkaran ünlü matematik yazarı (ve kimya mühendisi) Tom M. Apostol da, oğul Lehmer'in doktora öğrencileri arasındadır.
Baba Lehmer'in doktora öğrenciliği esnasında yazdığı makaleyi irdelemek için bazı tanımlarla işe başlayacağız.
Kenar uzunlukları ve alanı tam sayı olan üçgene tam üçgen denir. Tam üçgenin kenar uzunlukları aralarında asal ise, o zaman böyle bir tam üçgene indirgenmiş tam üçgen denir. Hem sinus hem de cosinus fonksiyonlarının değeri rasyonel olan açılara ise rasyonel açılar diyeceğiz.
Bu tanımlarla ilgili vurgulanması gereken bazı hususlar var. Üçgen eşitsizliklerini sağlayan her üç tam sayı ile (o tam sayıları kenar uzunluğu kabul eden) bir üçgen çizilebilir. Ama böyle üçgenlerin alanlarının da tam sayı olacağı bariz değildir. Örneğin kenar uzunluğu 2 birim olan eş kenar üçgenin alanı $\sqrt{3}$ birim kare kadardır ve $\sqrt{3}$ irrasyonel bir sayı. Ayrıca bir açının sinus ya da cosinus değerlerinden sadece birisinin rasyonel olmasının, o açının rasyonel olmasına yetmediğini gözleyiniz. Mesela $\cos (\tfrac{\pi}{3}) = \tfrac{1}{2}$ ama $\sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Lehmer makalesine çok iyi bilinen bir önermeyle başlıyor.
Teorem 1: (Pisagor üçlüleri) Hipotenüsü $c$, kenar uzunlukları ise $a$ ve $b$ olan bir dik tam üçgenin kenarları arasında \begin{equation} a:b:c = 2 mn : m^{2}-n^{2} : m^{2}+n^{2} \label{pisagor3lusu} \end{equation} orantısı geçerlidir. Burada, genelliği kaybetmeden, $m>n>0$ tam sayılardır.
İspat: $(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}+2m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$ olduğundan (\ref{pisagor3lusu}) nolu denklem ile verilen formülün dik tam üçgenler ürettiği barizdir. Öte yandan burada kullandığımız önerme çok daha kuvvetli bir iddiaya sahip. Bütün dik tam üçgenlerin (\ref{pisagor3lusu}) nolu denklemle üretilebileceğini söylüyor. Şimdi, dik üçgen aynı zamanda tam olduğundan, $\tfrac{c-b}{a}$ oranı rasyoneldir. O zaman $m,n$ pozitif tam sayılar olmak üzere $\tfrac{c-b}{a}=\tfrac{n}{m}$ diyebiliriz. Bu oran yeniden düzenlendiğinde $c = b + a \tfrac{n}{m}$ elde edilir. Pisagor teoreminde $c^{2}=a^{2}+b^{2} = b^{2}+a^{2}\tfrac{n^{2}}{m^{2}}+2ab\tfrac{n}{m}$ denkleminin sadeleştirilmesiyle $\tfrac{a}{b} = \tfrac{2mn}{m^{2}-n^{2}}$ oranı elde edilir. Nihayet $\tfrac{c}{a}=\tfrac{b}{a}+\tfrac{n}{m}= \tfrac{m^{2}-n^{2}}{2mn}+\tfrac{n}{m}$ denkleminin sadeleştirilmesiyle $\tfrac{c}{a} = \tfrac{m^{2}+n^{2}}{2mn}$ oranına ulaşırız. QED
($2mn$, $m^{2}-n^{2}$, $m^{2}+n^{2}$) sayılarına literatürde Pisagor üçlüsü denir. Pisagor üçlülerini daha önce yerölçüsünde H atomunun spektrumunu çalışırken de kullanmıştık. Bu üçlülerle bütün tam dik üçgenleri üretmek mümkündür. Antikite öncesi Babil Medeniyetinin Teorem (1) ile verilen Pisagor üçlülerini üreten mekanizmayı bildiğine dair bazı arkeolojik bulgular vardır. Lehmer, ispatı 17. yy'da yazılmış Fransızca bir kitaba havale ediyor. Pisagor üçlülerinin konumuzla alakalı en bariz uygulamalarından birisi trigonometriyle ilgili. $(0,\pi) \ni A$ açısı bir dik üçgenin ya iç açısıdır ya da dış açısıdır. Bu açı eğer rasyonel ise, o zaman onun trigonometrik fonksiyonları \begin{equation} \sin A = \frac{2mn}{m^{2}+n^{2}} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ \cos A = \pm \frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}} \label{ras1} \end{equation} formülleriyle verilebilir. Bu denklem $\sin A = \cos B$ ve $\cos A = \sin B$ özdeşlikleriyle, dik tam üçgenin iç açılarının da rasyonel olduğunu söyler. Bir dik üçgenin tam (ya da bir tam üçgene benzer) olabilmesi için kenar uzunluklarının tam olmasının yeterli olduğunu gözleyiniz. (Neden?)
Lemhmer'in makalesindeki ikinci önerme ise aşırı derecede basit.
Teorem 2: $A$ ve $B$ rasyonel açılar ise, o zaman $A \pm B$ de rasyonel açılardır.
İspat: $\cos (A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ ve $\sin (A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ formülleri kullanılarak ispat tamamlanır. QED
Bu teoremin basit bir uygulaması şöyledir. Bir üçgenin iç açılarının rasyonel olup olmadığı soruşturulurken sadece iki iç açısına bakmak yeterlidir. Üçüncü iç açının $C = \pi - (A + B)$, $\sin C = \sin (A+B)$ ve $\cos C = -\cos(A+B)$ formülleriyle rasyonel olduğu görülür.
Lehmer'in üçüncü önermesi rasyonel açılı üçgenlerle tam üçgenler arasındaki denkliği kuruyor.
Teorem 3: Tam üçgenin iç açıları rasyoneldir. Bu önermenin tersi de şöyle ifade edilebilir. İç açıları rasyonel olan bir üçgen ya tam üçgendir ya da bir tam üçgene benzerdir.
İspat: Üçgenin tam olduğunu varsayalım ve alanı $S$ olsun. O zaman sinus teoremi uyarınca $\sin A = \tfrac{2S}{bc}$ olur ki bu değer rasyoneldir. Cosinus teoremi uyarınca $\cos A = \tfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ değerinin de rasyonel olduğu görülür. Diğer iç açılar için de benzer çalışmalarla bütün iç açıların rasyonelliğini ispatlayabiliriz. Önermenin tersini ispatlamak için kenarlardan birisinin, mesela $a$ kenarının, rasyonel olduğunu varsayalım. Açıların değerlerini ve dolayısıyla rasyonelliklerini etkilemeden böylesi bir benzerlik skalası her zaman kurulabilir. Sinus teoremi uyarıca $b = a \tfrac{\sin B}{ \sin A}$ ve $c = a \tfrac{\sin C}{ \sin A}$ eşitlikleriyle diğer kenarların da rasyonel olmaları gerektiği görülür. Yine sinus teoremi uyarınca $S = \tfrac{1}{2}bc\sin A$ formülüyle üçgenin alanının da rasyonel olması gerektiğini gösterebiliriz. $a,b,c$ ve $S$ sayılarının paydalarının okek'i $L$ olsun. O zaman $La$, $Lb$ ve $Lc$ uzunlukları tam sayı olurlar ve elde edilen üçgenin alanı da, $L^{2}S$, bir tam sayıdır. QED
En genel haliyle bir üçgenin iç açılarını seçerken sadece iki tane serbestiyet derecesi (degree of freedom) kullanılabilir. Üçüncü iç açı, iç açılar toplamının $\pi$ radyan olması şartından tayin edilir. Madem tam üçgenlerin iç açıları rasyonel, o zaman biz de üçgenin $A$ ve $C$ açılarını bağımsız bir biçimde parametrize edebiliriz. \begin{eqnarray} \sin A &=& \frac{2mn}{m^{2}+n^{2}}, \ \ \ \cos A = \frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}, \ \ \ m>n>0, \label{angA} \\ \sin C &=& \frac{2pq}{p^{2}+q^{2}}, \ \ \ \cos C = \pm \frac{p^{2}-q^{2}}{p^{2}+q^{2}} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ p>q>0. \label{angC} \end{eqnarray} Üçgenin sadece bir açısı geniş olabileceğinden, genelliği kaybetmeden, bu iç açıyı gerekli olduğu durumda $C$ ile göstereceğiz. Öte yandan $B$ açısının sinus ve cosinus değerleri trigonometrik özdeşlikler ile tayin edilir. Basit çarpanlara ayırma alıştırmalarından sonra aşağıdaki sonuçları elde ediyoruz. \begin{equation} \sin B = \sin (A+C) = 2\frac{(pm \mp qn)(qm \pm pn)}{(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ \cos B =-\cos (A+C) = \frac{4mnpq \mp (m^{2}-n^{2})(p^{2}-q^{2})}{(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})} . \label{angB} \end{equation} Dik tam üçgenleri üreten parametrizasyonu (1) nolu Teorem ile yapmıştık. Benzer bir mekanizmayı en genel haliyle bütün tam üçgenler için artık verebiliriz. Üçgende bir kenarın uzunluğu ile o kenarı gören açının sinus değeri orantılıdır: $\tfrac{a}{\sin A} = \tfrac{b}{\sin B} =\tfrac{c}{\sin C}$. Ama biz (3) nolu Teorem uyarınca tam üçgenlerin iç açılarının rasyonel olduğunu biliyoruz ve (\ref{angA},\ref{angC},\ref{angB}) nolu denklemlerle de bu açıların sinus değerlerini tam sayılarla parametrize ettik. O zaman basit bir alıştırmayla bütün tam üçgenlerin parametrizasyonunu verebiliriz.
Teorem 4: $m,n,p$ ve $q$ pozitif tam sayılar olsun. O zaman \begin{eqnarray} a &=& mn(p^{2}+q^{2}), \label{tama}\\ b &=& (pm \mp qn)(qm \pm pn) \ \ \ {\rm ve} \label{tamb} \\ c &=& pq(m^{2}+n^{2}) \label{tamc} \end{eqnarray} denklemleri bütün tam üçgenlerin kenar uzunluklarını üretir.
Bu teoreme düştüğü dipnotta Lehmer, hepimizin üstadı Euler'in (\ref{tama},\ref{tamb},\ref{tamc}) nolu denklemlerle verilen parametrizasyonu bildiğini belirtiyor. Şu aşamada okurun aklına takılabilecek makul sorulardan birisi şudur. Genel bir üçgeni, uzunlukları cinsinden tarif etmemiz gerektiğinde, bu işi en çok üç parametreyle yapabiliyoruz. Pekiyi neden en genel haliyle tam üçgenlerin üretiminde dört tane parametre gerekiyor?
Tam üçgenlerin tanımına bakarak bu soruyu cevaplayabiliriz. Tanım hem bütün kenar uzunluklarının hem de üçgenin alanının tam sayı olmasını zorunlu kılıyor. Dolayısıyla tam üçgenlerin sağlaması gereken şart üç değil dört tane.
Bu postada yaptıklarımız bir ön hazırlık niteliğindeydi. Lehmer'in makalesine devam edeceğiz.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder