Arka plan ve motivasyon
Hepimiz spektroskopi öğrendik ama ne dört başı mamur bir gürültü devresi tasarımı yaptık ne de paraboloid aynaların mükemmel kolimasyon ve odaklama özelliklerini ispatladık. Daha önce yerölçüsünde paraboloid aynalarla ilgili çalışmalar yaptığımızdan bu postada gürültü devresi tasarımına bakacağız. Neden? Zira spektroskopik cihazlar, diğer tüm elektronik cihazlar gibi gürültü üretir. Gürültünün muhtelif fiziksel nedenleri var, ancak bu postada gürültünün muayenesinden ziyade bertarafına odaklanacağız. Kabaca söylemek gerekirse, bir elektrik devresindeki yinelenebilir çıktıya -ne kadar zayıf olursa olsun- sinyal ve yinelenemeyen kısma -ne kadar güçlü olursa olsun- gürültü denir. Daha teknik bir söylemle sinyal deterministik, gürültü stokastiktir. Bir çalışmanın odağı, gürültünün kendisinin istatistiksel bir analizi değilse, o zaman gürültünün varlığı genellikle istenmez. Gürültüyü temizlemenin bir yolu, onun tanımından faydalanır. Aynı deneyi defalarca yineler ve daha sonra da çıktılarını eklersiniz. Tesadüfi gürültü genlikleri genellikle toplamda çok küçük sayılara baliğ olurken, deterministik sinyal kesin bir şekilde bu süreçte güçlenir. Her ne kadar kelimenin gerçek anlamıyla mükemmel olsa da, bu yöntem çok pahalı ve zaman alabilecek bir deneyi defalarca yineleme imkanımızın olduğunu varsaymaktadır ki bu genellikle hiçbir zaman mümkün olmaz. Bu noktada elektronik alternatif bir çözüm sunar. Bu postada analog ve muhtemelen cihaza gömülü lineer devre unsurlarından oluşmuş bir gürültü devresi tasarımını, işin kararlılık boyutunu da ele alarak irdeleyeceğiz.
Gerek optik gerekse manyetik spektroskopide alışık olduğumuz laboratuvar tecrübesi, gürültü ve sinyalin hemen hemen her zaman, frekans uzayında ayrıştıklarını, gürültünün yüksek frekanslı sinyalin ise nisbeten daha düşük frekanslı olduğunu söylemektedir. Buna geçici varsayım (working hypothesis) diyeceğiz ve pek çok sisteme uygulaması olduğundan böylesi bir probleme maliyeti düşük bir çözüm önereceğiz. Geçici varsayım uyarınca, günlük konuşma dilindeki anlamıyla bir sinyalin Fourier analizini yapan ve onun düşük ve yüksek frekanslı bileşenlerini ayrıştırıp farklı bir biçimde muamele eden bir devre olsa, bu kuşkusuz spektroskopik cihazlarda çok büyük fayda temin edecektir. Okurun anaokulu düzeyinde RC devresinin analizine ve frekans davranışına aşina olduğunu varsayıyoruz. Bu postada inceleyeceğimiz üç ızgaralı analog devre aşağıdaki panoda gösteriliyor. Devrenin bir varyantını Omar Wing'in ders kitabında gördüm. Bu postada amacım söz konusu devreyi en genel haliyle inceleyip, devre parametrelerini düşük frekanslı çıktıyı en ideal bir şekilde iletirken, yüksek frekanslı olanları bastıracak şekilde optimize etmektir. Bu işi yaparken bir kararlılık analizini de sunmayı hedefliyorum.
Devrenin dinamiğine ilişkin cebirsel ve diferansiyel denklemlerin türetilmesi
Bu devrede değerleri üzerinde gösterilen iki direnç iki de sığaç mevcuttur. Söylemeye lüzum yok, $\alpha$ ve $\beta$ birimsiz ölçek çarpanları olarak bu devrede rol alıyorlar. Kirchhoff'un akım ve voltaj kanunlarını bu devreye uyguladığımızda aşağıdaki karışık cebirsel ve diferansiyel denklem sistemini elde ediyoruz. Direnç, sığaç, bobin gibi pasif elektronik devre unsurlarını bizim için özel kılan şey, bunlarla kurulan devrelerin dinamiğinin lineer cebirsel ve lineer adi diferansiyel denklemlere tabi olmasıdır. Lineer denklemlere ilişkin güçlü ve zengin bir yöntem mühimmatını bu problemlere uygulayabiliriz. Önce denklemleri yazalım.
\begin{eqnarray}
&{\rm A1:}&\ i(t) = i_{1}(t) + i_{2}(t) \nonumber \\
&{\rm A2:}&\ i_{1}(t) = i_{3}(t) + i_{4}(t) \nonumber \\
&{\rm V1:}&\ Ri(t) + \frac{1}{C}q_{2}(t) -V_{I}(t)=0 \nonumber \\
&{\rm V2:}&\ L\frac{{\rm d}i_{1}(t)}{{\rm d}t} + \frac{1}{\alpha C} q_{4}(t) - \frac{1}{C}q_{2}(t) =0 \nonumber \\
&{\rm V3:}&\ \beta R i_{3}(t) - \frac{1}{\alpha C} q_{4}(t) =0
\end{eqnarray}
Burada voltaj denklemlerinde yer alan $q_{2}(t)$ ve $q_{4}(t)$, sırasıyla, $C$ ve $\alpha C$ sığaçlarında depolanan anlık yükleri temsil ediyorlar. Öte yandan elektronik laboratuvarlarında adet yük yerine akımları ölçmek ve bir durum değişkeni olarak yükleri topyekun elemektir. Buna göre, ihtiyaç halinde, $\dot{q}_{2}(t) = i_{2}(t)$ vb. eşitlikler sayesinde denklemlerimizden yükleri eleyebiliriz. Her zaman olduğu gibi bir değişkenin tepesine konulan nokta onun zamana göre türevini simgelemektedir. Burada göstermeyeceğiz ama voltaj denklemlerinde yer alan yükleri elemek amacıyla söz konusu denklemlerin her iki tarafının da zamana göre türevini almamız yeterli.
Temel devre teorisinden biliyoruz ki $RC$ çarpımının birimi zaman. Bu gözlem bize $t =: \tau RC$ kanalıyla yeni bir birimsiz zaman değişkeni tanımlama imkanı sunuyor. Değişkenin tepesine koyduğumuz bir üssü (prime) işareti ile $\tau$'ya göre türev almayı temsil edersek, o zaman adi türevlerdeki zincir kuralı uyarınca zamana bağlı herhangi bir fonksiyon için $\dot{f}(t) = (RC)^{-1} f^{\prime}(\tau)$ eşitliğini not edelim. Bundan böyle Kirchoff denklemlerini birimsiz zaman değişkenleriyle ifade edilmiş bir biçimde kullanacağız. Az sonra nedenleri daha belirgin bir halde tebarüz edeceği gibi, $i_{3}$ değişkenini problemin merkezi değişkeni addedip, geri kalan diğer durum değişkenlerini $i_{3}$ ve onun zamana göre türevleri cinsinden ifade edeceğiz. Şimdi (V3) denkleminin önce her iki tarafının zamana göre türevini alıp ($0=\beta R \dot{i}_{3} - i_{4}/\alpha C$) ardından birimsiz zaman niceliğine geçtiğimizde aşağıdaki sonucu elde ediyoruz.
\begin{equation*}
{\rm V3a}: \ i_{4}(\tau) = \alpha \beta i_{3}^{\prime}(\tau)
\end{equation*}
Ayrıca (V3) denklemini yeniden düzenlediğimizde basitçe aşağıdaki denklemi de elde ederiz.
\begin{equation*}
{\rm V3b}: \ q_{4}(\tau) = \alpha \beta RC i_{3}(\tau)
\end{equation*}
(V3a) denkleminden (A2) denkleminde faydalandığımızda ise $i_{1}$ merkezi değişken cinsinden yazılmış olur.
\begin{equation*}
{\rm A2a}: \ i_{1}(\tau) = i_{3}(\tau) + \alpha \beta i_{3}^{\prime}(\tau).
\end{equation*}
Şimdi (A2a) ve (V3b) denklemlerini (V2) denkleminde kullanırsak, o zaman
\begin{equation*}
{\rm V2a}: \ q_{2}(\tau) = \frac{L}{R} (i_{3}^{\prime}(\tau) + \alpha \beta i_{3}^{\prime \prime}(\tau)) + \beta RC i_{3}(\tau)
\end{equation*}
elde ediliyor. Denklemin her iki tarafının $t$'ye göre türevini aldığımızda ise, $i_{2}$ değişkenini de $i_{3}$ cinsinden ifade etmiş olacağız.
\begin{equation*}
{\rm V2b}: \ i_{2}(\tau) = \alpha \beta \kappa i_{3}^{\prime \prime \prime} (\tau) + \kappa i_{3}^{\prime \prime}(\tau)
+ \beta i_{3}^{\prime}(\tau) .
\end{equation*}
Burada $\kappa := L/R^{2}C$ problemi tanımlayan bütün parametrelerin öbeklendiği birimsiz bir parametredir ve devrenin hem nitel hem de nicel davranışı $\kappa$ vasıtasıyla belirlenebilir. (A2a) ve (V2b) denklemlerinden faydalanarak (C1) etiketli denkleme geri döndüğümüzde aşağıdaki sonucu elde ediyoruz.
\begin{equation*}
{\rm A1a}:\ i(\tau) = \alpha \beta \kappa i_{3}^{\prime \prime \prime}(\tau) + \kappa i_{3}^{\prime \prime}(\tau)
+ (1+\alpha)\beta i_{3}^{\prime}(\tau) + i_{3}(\tau)
\end{equation*}
Bu manipulasyonlar neticesinde tüm durum değişkenlerini $i_{3}$ ve türevleri cinsinden ifade etmiş olduk. Dolayısıyla $i_{3}$ değişkenini çözmek aslında problemi çözmekle eş anlamlıdır. Eğer yalnızca $i_{3}$ değişkenini içeren bir denklem elde etmek istiyorsak, o zaman şimdiye kadar hiç kullanmadığımız bir Kirchhoff denklemi kullanmalıyız ki o denklem de (V1) etiketli denklemdir. (A1a) ve (V2a) söz konusu denklemde kullanıldığında aşağıdaki lineer, üçüncü dereceden, homojen olmayan, sabit katsayılı adi diferansiyel denklem elde edilir.
\begin{equation*}
\boxed{ \alpha \beta \kappa i_{3}^{\prime \prime \prime}(\tau) + \kappa (1+ \alpha \beta) i_{3}^{\prime \prime} (\tau)
+(\alpha \beta + \beta + \kappa) i_{3}^{\prime}(\tau) + (1+\beta) i_{3}(\tau) = \frac{1}{R} V_{I}(\tau) }
\end{equation*}
Ancak başlangıç şartlarını vermek suretiyle bu diferansiyel denklemin tam çözümü talep edebiliriz. $i_{3}(\tau)$ için verilen adi diferansiyel denklem üçüncü derece olduğundan, üç tane başlangıç şartına ihtiyacımız vardır. Bunlar $i_{3}(0)$, (V3a) denklemi kanalıyla $i_{3}^{\prime}(0) = i_{4}(0)/\alpha \beta$ ve (V2a) denklemiyle $i_{3}^{\prime \prime}(0) = \frac{1}{\alpha \beta} \left( \frac{R}{L}q_{2}(0)-\frac{1}{\alpha \beta}i_{4}(0)-\frac{\beta}{\kappa}i_{3}(0)\right)$ olarak temin edilebilirler. Başlangıçta boş sığaçlarla ve yavaşça sıfır değerinden artan ya da azalan girdi gerilimiyle başlamak her zaman için iyi bir uygulamadır. Dolayısıyla genelliği biraz kaybederek $i_{3}(0)=i_{3}^{\prime}(0) = i_{3}^{\prime \prime}(0)=0$ olduğunu kabul edebiliriz.
Homojen çözüm ve bu çözümün kararlılığı
Homojen olmayan bir adi diferansiyel denklemin çözüm sürecinin ilk basamağı sanki denklem homojenmiş gibi davranıp tekabül eden homojen denklemin çözülmesidir, diğer bir deyişle kutudaki denklemin sağ tarafını sıfıra eşitleyip çözümüne bakacağız. Tekabül eden homojen denklem sabit katsayılı ve lineer olduğundan, $\lambda$ problemin özdeğerlerini temsil etmek üzere, ilgili denklemin $i_{3}(\tau) = \exp(\lambda \tau)$ formunda çözümlerini arayacağız. Böylesi bir deneme çözümü denklemin sıfatını diferansiyelden cebirsele, yani $\tilde{p}(\lambda)=0$ denkleminin kök bulma problemine dönüştürür. Burada $\tilde{p}$ aşağıdaki gibi tanımlanan kübik bir polinomdur.
\begin{equation*}
\tilde{p}(x) := \alpha \beta \kappa x^{3} + \kappa (1+ \alpha \beta) x^{2} + (\alpha \beta + \beta + \kappa) x + 1 + \beta
\end{equation*}
$\lambda_{i}$, $\tilde{p}$ polinomunun köklerini temsil etmek üzere, tekabül eden homojen çözüm aşağıdaki gibi olur.
\begin{equation*}
{\rm H1}: \ i_{3}^{\rm h}(\tau) = C_{1} \exp(\lambda_{1}\tau) + C_{2} \exp(\lambda_{2}\tau) + C_{3} \exp(\lambda_{3}\tau)
\end{equation*}
Burada $C_{i}$ yukarıda bahsi geçen başlangıç şartlarından tayin edilmesi gereken katsayılardır. Şu an için yozlaşma (degeneracy) yani köklerin çokkatlılığı ihtimalini dikkate almayacağız. Bir polinomdaki bütün katsayıları baş katsayıya böldüğümüzde elde edilen (monik) polinomla asıl polinomun kökleri aynıdır. Bu yüzden bundan sonra $\tilde{p} =: \alpha \beta \kappa p$ denklemiyle verilen $p$ polinomunu inceleyeceğiz.
\begin{equation*}
p(x) := x^{3} + \left( 1+\frac{1}{\alpha \beta} \right) x^{2}
+ \left( \frac{1}{\kappa}+\frac{1}{\alpha \kappa}+\frac{1}{\alpha \beta}\right) x
+\frac{1}{\alpha \beta \kappa} + \frac{1}{\alpha \kappa}
\end{equation*}
$\lambda_{i}$ değerlerinden en az birisinin pozitif gerçel kısmı olması halinde, ilgili katsayı eğer sıfır değilse -ki bu aşırı derecede nadir bir durumdur-, o zaman homojen çözüm asimptotik olarak kararsız olur. Diğer bir deyişle $\lim_{\tau \to \infty} i_{3}^{\rm h}(\tau) \to \pm \infty$ olacaktır. Böylesi devrelerin çok yüksek akım sonucu eriyecekleri aşikardır. Öte yandan eğer tüm $\lambda_{i}$ değerlerinin gerçel kısımlar negatif ise, o zaman $\lim_{\tau \to \infty} i_{3}^{\rm h} \to 0$ olur. Başka bir deyişle devre asimptotik olarak kararlıdır ve homojen çözümün katkısı ancak geçici bir süreliğine varlığını hissettirir. Yani $\tau > |1/\min \Re[\lambda_{i}]|$ ise, o zaman $i^{\rm h}_{3}(\tau)$ ihmal edilebilir. (Burada $\Re[z]$ ile karmaşık bir sayının gerçel kısmını temsil ediyoruz.)
Bu noktaya değin sunduğumuz sezgisel argümanlar bizi Routh-Hurwitz kararlılık problemine getiriyor: Katsayıları gerçel bir polinomun bütün köklerinin gerçel kısımlarının negatif olup olmadığını kat'i olarak tayin etmek için sadece sonlu sayıda aritmetik işlemden faydalanan bir algoritma icat ediniz. 19. yy'da ifade edilen ve de çözümü verilen bu problemin muhtelif çözümleri mevcut. Daha önce yerölçüsünde de şerhli tercümesini verdiğimiz Strelitz algoritması ile bu problemi çözeceğiz. Teoremin burada yer vereceğimiz lafzı Prasolov'un kitabından alınmadır.
Teorem: (Sh. Strelitz) $p(z):=z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n}$ katsayıları gerçel, monik bir polinom olsun. $q(z):=z^{m}+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots+b_{m}$ ise $m:=\tfrac{1}{2}n(n-1)$ olmak üzere, kökleri $p$ polinomunun köklerinin farklı çiftlerinin toplamı olan polinom olsun. $p$ polinomunun Routh-Hurwitz kararlı olması için gerek ve yeter şart, hem $p$ hem de $q$ polinomlarının katsayılarının pozitif olmasıdır.
Bu teoremin ispatını yukarıda verdiğimiz linkten takip edebilirsiniz. Her ne kadar burada kullanmayacak olsak da, Strelitz'in makalesinde $q$ polinomunun katsayılarını Newton toplamlarından faydalanarak, $p$ polinomunun katsayıları cinsinden ifade eden bir algoritma da mevcut. Bizim problemimizde hem $p$ hem de $q$ polinomlarının derecesi 3 gibi küçük olduğundan genel bir algoritmaya girmeyeceğiz.
Strelitz algoritmasındaki kilit nokta $b_{i}$ katsayılarının kurulumudur. $p(z):=z^{3}+a_{1}z^{2}+a_{2}z+a_{3}$ olsun ve kökleri de $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ ve $\lambda_{3}$ ile temsil edilsin. O zaman tanım gereği $q$ polinomunun kökleri $\lambda_{1}+\lambda_{2}$, $\lambda_{1}+\lambda_{3}$ ve $\lambda_{2}+\lambda_{3}$ olmalıdır. Dolayısıyla
\begin{equation*}
b_{1}=-(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{1}+\lambda_{3}+\lambda_{2}+\lambda_{3})=-2(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})=2a_{1}
\end{equation*}
sonucunu hemen elde ederiz. $b_{2}$ katsayısı için aşağıdaki küçük cebirsel manipulasyonlara başvuracağız.
\begin{eqnarray} \nonumber
b_{2} &=& (\lambda_{1}+\lambda_{2})(\lambda_{1}+\lambda_{3}) + (\lambda_{1}+\lambda_{2})(\lambda_{2}+\lambda_{3}) +
(\lambda_{1}+\lambda_{3})(\lambda_{2}+\lambda_{3}) \\ \nonumber
&=& \lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}+3(\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{2}\lambda_{3}) \\ \nonumber
&=& (\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})^{2} + \lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{2}\lambda_{3} \\ \nonumber
&=& a_{1}^{2}+a_{2}
\end{eqnarray}
$a_{1}$ ve $a_{2}$ pozitif ise, o zaman $b_{1}$ ve $b_{2}$ değerlerinin de pozitif olacağı barizdir. Gerçekten de ele aldığımız problemde $a_{1} := 1+(\alpha\beta)^{-1}$, $a_{2}:=\kappa^{-1}+(\alpha\kappa)^{-1}+(\alpha\beta)^{-1}$ ve $a_{3}:=(\alpha\beta\kappa)^{-1}+(\alpha\kappa)^{-1}$ hep pozitif niceliklerdir. Stabilite analizini $b_{3}$ için bir ifade vererek tamamlayacağız.
\begin{eqnarray}\nonumber
b_{3} &=& - (\lambda_{1}+\lambda_{2})(\lambda_{1}+\lambda_{3})(\lambda_{2}+\lambda_{3}) \\ \nonumber
&=&-(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}-\lambda_{3})(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}-\lambda_{2})(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}-\lambda_{1}) \\ \nonumber
&=&-(-a_{1}-\lambda_{3})(-a_{1}-\lambda_{2})(-a_{1}-\lambda_{1}) \\ \nonumber
&=&a_{1}^{3}+a_{1}^{2}(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})
+ a_{1}(\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{2}\lambda_{3}) + \lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3} \\ \nonumber
&=&a_{1}a_{2}-a_{3}
\end{eqnarray}
Problemimizdeki yegane aşikar olmayan işaret sorgusu da budur. Değerleri yerine koyduğumuzda
\begin{equation*}
b_{3} = \kappa^{-1} + (\alpha \beta)^{-1} + (\alpha^{2}\beta\kappa)^{-1} + (\alpha^{2}\beta^{2})^{-1} > 0
\end{equation*}
olduğunu da gösterebiliriz. Dolayısıyla Strelitz teoremi uyarınca devremizin kayıtsız şartsız Routh-Hurwitz kararlı olduğunu ve homojen çözümün varlığını ancak geçici bir süreliğine gösterdiğini ispatlamış olduk.
Kısmi ve toplam çözümler
Homojen olmayan adi diferansiyel denklemlerin çözümlerinde, homojen çözüm başlangıç şartlarını çözüme yansıtırken, kısmi çözüm ise tahrik
gücünden gelen katkıyı gösterir. Girdi voltajının alternatif/sinusoidal olduğunu kabul edeceğiz. Söz konusu voltaj birimsiz zaman ve frekans değişkenlerinde aşağıdaki gibidir.
\begin{equation*}
V_{I}(\tau) = V_{\circ} \sin (\Omega \tau)
\end{equation*}
$V_{I}$ fonksiyonunun trigonometrik formundan ötürü, aşağıdaki şablona uyan kısmi çözümler arayacağız.
\begin{equation*}
{\rm P1}: \ i_{3}^{\rm p}(\tau) := A\sin(\Omega \tau) + B\cos(\Omega \tau)
\end{equation*}
Buradaki $A$ ve $B$ katsayıları $i_{3}^{\rm p}(\tau)$ fonksiyonunun kutu içindeki diferansiyel denklemi sağlaması gerektiği şartından temin edilecektir. (Dikkat: başlangıç şartlarından değil!) Müteakip işlemler usandırıcı olsa da, işlem hatası yapmamak kaydıyla, kolaydır. (P1) etiketli deneme çözümünü kutudaki denkleme koyup türevleri aldıktan sonra cosinus ve sinus terimlerini aşağıdaki gibi ayrıştırıyoruz.
\begin{eqnarray}\nonumber
&&\left\{-\alpha\beta\kappa \Omega^{3}A-\kappa(1+\alpha\beta)\Omega^{2}B+(\alpha\beta+\beta+\kappa)\Omega A+(1+\beta)B \right\} \cos(\Omega \tau) \\ \nonumber
&+& \left\{\alpha\beta\kappa \Omega^{3}B-\kappa(1+\alpha\beta)\Omega^{2}A-(\alpha\beta+\beta+\kappa)\Omega B+(1+\beta)A - \frac{V_{\circ}}{R} \right\} \sin(\Omega \tau)= 0
\end{eqnarray}
Bu aşamada yapılması gereken kilit gözlem şudur: sinus ve cosinus birbirlerinden lineer olarak bağımsız iki fonksiyon olduklarından, bu denklemdeki katsayıları -her ikisi de- sıfır olmak zorundadır. Böylece iki adet lineer denklem elde ediyoruz.
\begin{eqnarray} \nonumber
&& (\alpha \beta \kappa \Omega^{3} - (\alpha \beta + \beta + \kappa) \Omega)A
+ (\kappa (1 + \alpha \beta)\Omega^{2} - (1+\beta))B = 0 \\ \nonumber
&&-(\kappa (1 + \alpha \beta)\Omega^{2} - (1+\beta))A
+(\alpha \beta \kappa \Omega^{3} - (\alpha \beta + \beta + \kappa) \Omega)B = \frac{V_{\rm o}}{R}
\end{eqnarray}
Bu denklemlerde cebirsel bataklığa dalıp boğulmak çok kolay. Bu yüzden önce aşağıdaki parametreleri tanımlayarak
\begin{equation*}
x := \alpha \beta \kappa \Omega^{3} - (\alpha \beta + \beta + \kappa) \Omega \ \ \ {\rm ve} \ \ \
y := \kappa (1 + \alpha \beta)\Omega^{2} - (1+\beta)
\end{equation*}
lineer denklem sistemini daha sade bir hale getiriyor
\begin{equation*}
xA+yB = 0 \ \ \ {\rm ve} \ \ \ -yA+xB = \frac{V_{\circ}}{R}
\end{equation*}
ardından da çözümünü veriyoruz.
\begin{equation*}
A = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \frac{V_{\circ}}{R} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ B = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} \frac{V_{\circ}}{R}
\end{equation*}
$\varphi \in [0,2\pi)$ aralığında yer alan faz açısını $\cos \varphi := -y/\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ve $\sin \varphi = x/\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ile tanımlarsak, o zaman kısmi çözüm şöyle olacaktır:
\begin{equation*}
i^{\rm p}_{3}(\tau) = \frac{V_{\circ}/R}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \sin(\Omega \tau + \varphi).
\end{equation*}
Bu denklemi yazarken $\sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b$ trigonometrik özdeşlikten faydalandık.
Hem kısmi hem de homojen çözümleri elde ettiğimize göre başlangıç değer probleminin toplam çözümünü verebiliriz.
\begin{equation*}
{\rm HP}: \ i_{3}(\tau) = i_{3}^{\rm h}(\tau) + i^{\rm p}_{3}(\tau) = C_{1} \exp(\lambda_{1}\tau) + C_{2} \exp(\lambda_{2}\tau) + C_{3} \exp(\lambda_{3}\tau) + \frac{V_{\circ}/R}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \sin(\Omega \tau + \varphi)
\end{equation*}
Burada göstermeyeceğiz ama $C_{i}$ katsayılarını elde etmek için daha önce $i_{3}(0)$, $i^{\prime}_{3}(0)$ ve $i^{\prime \prime}_{3}(0)$ için verdiğimiz başlangıç şartlarından faydalanabiliriz. (Kuşkusuz tam çözümün bulunması kübik polinomun köklerinin hesaplanmasını da gerektirecektir.) Devremiz Routh-Hurwitz kararlı olduğundan, belli bir zaman sonra geçici (homojen) terimler etkisini yitirecek ve toplam çözüm asimptotik/pratik olarak $i^{\rm p}_{3}(\tau)$ ile aynileşecektir.
Geçirme bandı düz, düşük frekans bileşenlerini geçiren filtre
Her ölçüm cihazında olduğu gibi, spektroskopik ekipmanda da ya bir devre unsurundaki voltaj düşmesi ya da oradan geçen akım günlük dildeki kullanımıyla sinyal
olarak addedilir ve bu sinyalin tefsiriyle incelenen malzemenin fizikokimyasal boyutundaki bir özelliğe ulaşılır. Diyelim ki spektrometre tasarımcımız $\beta R$ direncinden geçen akımı okumak istiyor. Bu akımın genliği devre parametrelerine ve girdi voltajının frekansına güçlü bir biçimde bağlılık gösterecektir.
\begin{equation*}
\max i_{3}(\tau) \sim \frac{V_{\circ}/R}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\end{equation*}
Daha açık yazıldığında $x^{2}+y^{2}$ ifadesi aşağıdaki gibidir.
\begin{equation*}
(\alpha \beta \kappa)^{2} \Omega^{6} + (\kappa^{2}(1+\alpha\beta)^{2}-2\alpha\beta\kappa(\alpha\beta+\beta+\kappa))\Omega^{4} + ((\alpha\beta+\beta+\kappa)^{2}-2\kappa(1+\alpha\beta)(1+\beta))\Omega^{2} + (1+\beta)^{2}
\end{equation*}
Geçici davranışın katkıları sönümlendikten sonra $i_{3}$ aşağıdaki gibi olur.
\begin{eqnarray} \nonumber
\max i_{3}(\tau) &\sim& \frac{V_{\circ}/R}{\alpha\beta\kappa \Omega^{3}}, \ \ \ \ \ \Omega \to \infty. \\ \nonumber
\max i_{3}(\tau) &\sim& \frac{V_{\circ}/R}{1+\beta}, \ \ \ \ \ \ \Omega \to 0.
\end{eqnarray}
Açıkça görülüyor ki girdi voltajının frekansı eğer yüksek ise, o zaman tekabül eden sinyal $\beta R$ etrafında bastırılacağı gibi, frekansın düşük olması halinde akım genliği $V_{\circ}/(1+\beta)R$ olacak şekilde okunacaktır. İşte spektroskopide istediğimiz filtre türü tam da böylesi bir filtredir. Bu tip filtrelere literatürde düşük geçiren (lowpass) filtre denir ve $\Omega \ll 1$ şartını sağlayan frekansların bulunduğu bölge geçirme bandı (passband) olarak adlandırılır.
Devre parametrelerinin özensiz bir biçimde seçilmesi halinde, filtreden geçen akım genliği (passband bölgesinde) frekansa güçlü bir bağımlılık sergiler. Spektroskopicilerin deyişiyle okunan spektrumda yapay parlaklık/yoğunluk/şiddet (intensity) gözlenir. Akım genliğini tayin eden $(x^{2}+y^{2})^{-1/2}$ niceliğine transfer diyeceğiz. Yanda yer alan panoda iki ayrı parametre kümesi için transfer fonksiyonunun frekans davranışı sergilenmektedir. Bir parametre kümesi kullanıldığında arzulanan düz passband elde edilirken, ötekinde ise genlikte yapay dalgalanmalar bulunmaktadır. $x^{2}+y^{2}$ ifadesinin, $\Omega$ cinsinden yazıldığında 6. dereceden bir cebirsel fonksiyon olduğunu gözleyiniz. Passband bölgesini düzleştirmenin akıllı çözümlerinden birisi (ve naçizane kanaatime göre en güzeli) $x^{2}+y^{2}$ fonksiyonunun parametrelerinin, $n$ pozitif bir tam sayı ve $a$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, $a+\Omega^{2n}$ formunu tutturacak şekilde ayarlanmasıdır. Bu durum ancak $\Omega^{2}$ ve $\Omega^{4}$ terimlerinin katsayılarının sıfır olmasıyla yakalanabilir. Dolayısıyla devre parametreleri olan $\alpha,\beta$ ve $\kappa$ aşağıdaki denklemleri sağlar ise
\begin{eqnarray}\nonumber
&&\kappa^{2}(1+\alpha\beta)^{2}-2\alpha\beta\kappa(\alpha\beta+\beta+\kappa)=0 \ \ \ {\rm ve} \\ \nonumber
&&(\alpha\beta+\beta+\kappa)^{2}-2\kappa(1+\alpha\beta)(1+\beta)=0,
\end{eqnarray}
o zaman düz bir passband bölgesi garanti edilmiş olur. $\alpha=1$, $\beta=1$ ve $\kappa=2$ seçilerek bu denklemlerin gerçekten de sağlandığını not ediniz.
Daha fazla bilgi için
- Sh. Strelitz, On the Routh-Hurwitz Problem, Amer. Math. Monthly 84, 542-544 (1977).
- V. V. Prasolov, Polynomials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2004).
- S. Butterworth, On the Theory of Filter Amplifiers, Experimental Wireless and the Wireless Engineer 7, 536-541 (1930). [Okur, bu postada yer alan filtrelemeyle ilgili fikirlerin genelleştirildiği Butterworth'un çığır açıcı makalesine bakabilir.]
