Bütün ikinci dereceden lineer, homojen, adi diferansiyel denklemler Schrödinger formuna getirilebilir

Adını duymayan yoktur Schrödinger denkleminin. Kuvantum fiziğinin kalbinde olan bu denklemin zamandan bağımsız sıfatıyla maruf şekli aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} {\rm SD}: \ \ \ \frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}} + V(x) y(x) = 0 \end{equation*} Burada $V(x)$ bilinen bir fonksiyondur ve genellikle potansiyel enerji diye anılır. $y(x)$ ise verilen bir potansiyel enerjiye tekabül eden dalga fonksiyonudur. Fizik/kimya literatürüne aşina iseniz, o zaman muhtemelen sizin görmeyi umduğunuz Schrödinger denkleminde $\hbar, M, E$ gibi sırasıyla Planck sabiti, kütle ve enerji özdeğerine tekabül eden bazı parametrelerin bulunması gerekiyor. Lakin bu parametreler denklemin formunu çok da etkilemiyor. Sınıflandırmasına baktığımızda bu denklemin lineer, ikinci dereceden, homojen (sağ taraf sıfır) bir adi diferansiyel denklem olduğunu görüyoruz. Söz konusu sınıfın en genel hali bu değil. Her şeyden önce Schrödinger denkleminde birinci türev teriminin bulunmadığını not edelim ve böylesi bir terimi içeren aynı sınıfa ait bir denklem yazalım. \begin{equation*} {\rm A}: \ \ \ a(x)\frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}} + b(x)\frac{dy(x)}{dx} + c(x)y(x) = 0 \end{equation*} Burada $a,b,c$ fonksiyonlarının bilindiğini vurgulayalım.

Amacımız (A) etiketli denklem ile (SD) etiketli denklemin birbirlerine dönüştürülebileceklerini kanıtlamak. $a$ fonksiyonunun köklerinin olduğu noktalarda denklemin derecesi düşer ve çözümlerle ilgili tekillik sorunları yaşanabilir. Bu yüzden $a(x) \ne 0$ olan noktalarda (A) etiketli denklemi $a(x)$ ile bölelim. \begin{equation*} {\rm B}: \ \ \ \frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}} + p(x)\frac{dy(x)}{dx} + q(x)y(x) = 0 \end{equation*} Burada $p := b/a$ ve $q := c/a$ ile tanımlanmışlardır. Şimdi tıpkı Cardano yöntemiyle kübik denklemleri çözerken yaptığımız gibi bilinmeyen sayısını arttırarak problemi daha da basit bir forma sokmaya çalışacağız. Bu maksatla \begin{equation*} y(x) =: u(x)w(x) \end{equation*} tanımlıyoruz. Ne $u$ ne de $w$ biliniyor. Türevler için çarpma kuralını kullanarak $y^{\prime} = u^{\prime}w + uw^{\prime}$ ve $y^{\prime \prime} = u^{\prime \prime}w + 2u^{\prime}w^{\prime} + uw^{\prime \prime}$ olduğunu hemen bulabiliriz. Bu eşitlikleri (B) etiketli denklemde yerine yazdığımızda \begin{eqnarray}\nonumber 0 &=& u^{\prime \prime}w + 2u^{\prime}w^{\prime} + uw^{\prime \prime} + p (u^{\prime}w + uw^{\prime}) + q uw \\ &=& wu^{\prime \prime} + (2w^{\prime} + pw) u^{\prime} + (w^{\prime \prime} + pw^{\prime} + qw)u \end{eqnarray} Yukarıdaki manipulasyonun ikinci basamağında bir tercihte bulunduk ve terimleri $u$ fonksiyonunun türevlerine göre sıraladık. Elde ettiğimiz ara sonucu Schrödinger formuna getirmek için $u^{\prime}$ teriminin bulunmaması gerekiyor. Bu ise ancak \begin{equation*} 2w^{\prime} + pw=0 \end{equation*} eşitliğinin sağlanmasıyla mümkün. Bu birinci dereceden, homojen, adi diferansiyel denklemi çözmesi çok kolay. Detaylarını vermeden sadece çözümünü yazmakla yetineceğiz. \begin{equation*} w(x) = w(0) \exp \left\{ -\frac{1}{2} \int_{0}^{x} p(s)ds \right\} \end{equation*} $w(0)$ sabitini tayin etmek için elimizde matematiksel bir şart yok. Söz konusu değer tamamıyla keyfi. Öte yandan fiziksel olarak kısıtlı hareket durumunda dalga fonksiyonunun normalizasyon şartıyla bu değerin tayin edilmesi istenebilir. Veyahut bize verilen $y(x)$ fonksiyonunun başlangıç değerleriyle bir şeyler yapabiliriz. Her halükarda $w(0)$ sabitinin bir şekilde tayin edilebileceğini söyleyelim. Bu sabit tayin edilmese dahi $u$ fonksiyonunun yapısını etkilemeyeceğini birazdan göreceğiz.

Amacımıza neredeyse ulaştık. Şimdi $w$ için bulduğumuz çözümü $u$ ile ilgili adi diferansiyel denkleme koyalım. Öncelikle $w^{\prime} = -\frac{1}{2}pw$ olduğundan, \begin{equation*} w^{\prime \prime} = -\frac{1}{2}p^{\prime}w -\frac{1}{2}pw^{\prime} = -\frac{1}{2}p^{\prime}w -\frac{1}{2}p \left( -\frac{1}{2}pw \right) = \left( \frac{1}{4}p^{2} - \frac{1}{2}p^{\prime} \right) w \end{equation*} eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla $u$ ile ilgili adi diferansiyel denklem de \begin{equation*} u^{\prime \prime}(x) + \left( q(x) - \frac{1}{4}p^{2}(x) - \frac{1}{2}p^{\prime}(x) \right) u(x) = 0 \end{equation*} halini alır. Bu denklemin Schrödinger formunda olduğunu gözleyiniz.