Yaşasın, bir Putnam sorusu da ben çözdüm!

Kısaca Putnam namıyla maruf William Lowell Putnam Matematik Müsabakası ABD'de üniversite düzeyindeki öğrencilerin katıldığı bir matematik yarışması. Bu köklü organizasyon özellikle son yıllarda sorularının zorluğu yüzünden çoğu yarışmacının kalem oynatamamasıyla meşhur. Biz faniler eğer kendimizi mutlu hissetmek istersek ara sıra eski Putnamlar'a bakıp bir miktar teselli bulabiliriz. İşte aşağıda o çözülebilir ve benim polinomlarla ilgili olduğu için hoşuma giden bir soru var. Çözümümü de bu postada sizlerle paylaşmak istiyorum.

Soru: $n$ pozitif bir tamsayı, $P$ ise katsayıları gerçel bir polinom olsun. $x^{n} - (1/x^{n}) = P(x-(1/x)) \iff n \equiv 1 \ ({\rm mod} \ 2)$ olduğunu ispatlayınız.
Yirminci William Lowell Putnam Matematik Müsabakası, 21 Kasım 1959, Sabah Oturumu, Soru: 1

Çözüm: Öncelikle $x^{n} - (1/x^{n}) = P(x - (1/x))$ eşitliğinin geçerli olabilmesi için $P$ polimonunun derecesinin tam olarak $n$ olması gerektiğini gözleyelim. Böylece polinomun baş katsayısının da 1 olmak zorunda olduğu tebarüz eder. İspatta takip edeceğimiz strateji ilgili polinomu kurmak olacak. Söz konusu monik polinom en genel haliyle \begin{equation*} P(z) := z^{n} + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_{1}z + a_{0} \end{equation*} denklemiyle verilir ve problemin çözümü $a_{0},\ldots,a_{n-1}$ katsayılarının nasıl bulunacağına dair bir algoritma inşa etmekten veyahut böylesi bir algoritmanın bulunamayacağını göstermekten ibarettir.

İlkin $n$ yerine $2n$ koyalım. O zaman $P$ polinomunun önde giden teriminden binom teoremi uyarınca aşağıdaki ifadeler gelecektir. \begin{equation*} \left( x - \frac{1}{x}\right)^{2n} = x^{2n} - 2n x^{2n-2} + \cdots + \frac{1}{x^{2n}} \end{equation*} Farkındaysanız son terimin işareti ($+$) yanlış çıktı! Biz ($-$) olmasını tercih ederdik zira polinomda geri kalan terimlerin dereceleri $2n$'den küçük olduğu için başka bir terimde de $1/x^{2n}$ ifadesini üretip bu yanlış işareti $a_{k}$ katsayılarını seçerek düzeltmek imkansız. Bu yüzden $n$ çift ise teoremde bahsedilen polinomu kuramıyoruz.

$n$ tek olsun. $n=1$ için ilgili polinomun kolaylıkla $P_{1}(z)=z$ formunda kurulabildiğini gözleyiniz. Teoremin $P_{3},\ldots,P_{2n-1}$ için geçerli olduğunu ve bu polinomların mevcut olduklarını varsayalım. Şimdi, öncelikle binom teoremi ve ardından yeniden gruplamayla aşağıdaki manupulasyonları gerçekleştireceğiz. \begin{eqnarray} \nonumber \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2n+1} &=& \sum_{j=0}^{2n+1} {2n+1 \choose j} (-1)^{j}x^{2n+1-2j} \\ \nonumber &=& x^{2n+1} - \frac{1}{x^{2n+1}} + \sum_{j=1}^{2n} {2n+1 \choose j} (-1)^{j}x^{2n+1-2j} \\ \nonumber &=& x^{2n+1} - \frac{1}{x^{2n+1}} + \sum_{j=1}^{n} {2n+1 \choose j} (-1)^{j} \left( x^{2(n-j)+1} - \frac{1}{x^{2(n-j)+1}}\right) \end{eqnarray} $\zeta := x - x^{-1}$ tanımlarsak, o zaman yukarıdaki ifade \begin{equation*} x^{2n+1} - \frac{1}{x^{2n+1}} = \zeta^{2n+1} - \sum_{j=1}^{n} {2n+1 \choose j} (-1)^{j} P_{2(n-j)+1} (\zeta) =: P_{2n+1}(\zeta) \end{equation*} şeklinde yeniden düzenlenir ve tümevarım uyarınca ispat tamamlanmış olur. QED

Uygulama: Daha önceden de not ettiğimiz üzere $P_{1}(z)=z$ olduğu barizdir. Yukarıda kurduğumuz algoritma uyarınca \begin{equation*} P_{3}(z) = z^{3} - \sum_{j=1}^{1} {3 \choose j} (-1)^{j} P_{2(1-j)+1}(z) = z^{3} + 3 P_{1}(z) = z^{3} + 3z \end{equation*} olur. Dizideki bir sonraki polinom ise ispatta türettiğimiz formülde $n=2$ koymakla elde edilebilir. \begin{equation*} P_{5}(z) = z^{5} - \sum_{j=1}^{2} {5 \choose j} (-1)^{j}P_{2(2-j)+1}(z) = z^{5} + 5P_{3}(z) - 10P_{1}(z) = z^{5} + 5z^{3} + 5z \end{equation*}

Sabun yediğinizde ağzınıza hangi tatlar gelir?

MESULİYET REDDİ VE İKAZ
Bu postada sabun yenilmesi hiç bir surette telkin ve teşvik edilmemektedir.
Sabun yemek insan sağlığı üzerinde geçici veyahut daimi tahribat yapabilir.
Posta yazarı (MD) sabun yenilmesi ve yutulmasından kaynaklanan sağlık sorunlarından mesul tutulamaz.

Cevap: Sırasıyla önce tuzlu, sonra acı ve nihayet tereyağına benzer tatlar gelir.
Neden? Sabun uzun zincirli yağ asitlerinin sodyum tuzudur. Ağzınıza bir parça sabun attığınızda öncelikle tuzlu daha sonra da acı bir tat alırsınız ve bu iki tat birbirini çok hızlı takip eder. Hatta kimi durumlarda eş zamanlı olarak da algılanabilirler. Tuz tadının sabunun ağzınızda çözünüp Na⁺ katyonlarının emilimiyle olduğu barizdir. Sodyum kolayca emilir veya yutulur. Dolayısıyla tuz tadı kalıcı olmaz. Acılık ise -baharatların acılığıyla karıştırılmasın- zayıf asitlerin konjuge bazlarının sudaki tipik çözeltilerinin bir özelliği. Sonuçta herkesin de bildiği üzere sabun bazik bir malzeme. Buraya kadar her şey sezgisel olarak bariz ama sabunu bir iki dakika dilinizle damağınız arasında beleyerek beklettiğinizde, tuzluluk ve baz acılığı kaybolur. Zira sodyum emilir, tükrüğün tamponlayıcı etkisi ise ağız pH değerini tekrar normale çevirir. Geriye kalan şey ise katı, uzun hidrokarbon zincirlerinden oluşmuş yağ asitleridir. Bu kitle ise ağzınıza margarin/tereyağı benzeri bir tat vermeye başlar. Bu tat sonradan ortaya çıkar ve sabunu ağzınızda beklettiğiniz sürece kalıcıdır.

Cosinus teoreminin en yalın ispatı

Cosinus teoremi kuşkusuz tüm trigonometrinin en güçlü önermelerinden birisi. Fiziğin ve geometrinin tüm düzeylerinde bu temel ve güçlü önerme yaygın bir şekilde kullanılıyor. İspatı da genellikle Pisagor teoremine dayanılarak yapılıyor. Kurgusal olarak daha estetik bir ispat ise Pisagor teoremini kullanmadan cosinus teoremini ispatlamak ki bu kısa postanın da amacı budur. Hatta Pisagor teoremi bu yapacağımız ispatta cosinus teoreminin basit bir uygulaması olarak ortaya çıkmaktadır.

Kolaylık olması için çalışmamızı dar açılı bir $ABC$ üçgeninde yapacağız. $a := |BC|$, $b := |ac|$ ve $c:=|AB|$ ile üçgenin kenar uzunluklarını; $\alpha := \angle BAC$, $\beta := \angle ABC$ ve $\gamma := \angle ACB$ ile de üçgenin (dar) iç açılarını tanımlayalım. Üçgenin $A$ köşesinden $BC$ kenarına inen dikme, bu kenarı, $H_{A}$ noktasında kessin. Benzer şekilde kalan iki dikmenin ayakları için $H_{B}$ ve $H_{C}$ noktaları da tanımlanabilir. İspatın geri kalanını takip etmek için bu aşamada okur eline kağıt kalemi alıp, şu paragrafta bahsettiğimiz basit şekli çizmelidir.

Aynı yüksekliği paylaşan $ABH_{A}$ ve $ACH_{A}$ dik üçgenlerinde cosinus fonksiyonunun (ki kendisi dik üçgenlerdeki bir kenar-açı-kenar benzerlik oranından başka bir şey değildir) tanımından faydalanarak aşağıdaki denklemi rahatça yazabiliriz. \begin{equation*} a = c \cos \beta + b \cos \gamma \end{equation*} Tamamen benzer alıştırmalarla $b$ ve $c$ kenarları için de aşağıdaki denklemler türetilebilir. \begin{equation*} b = c \cos \alpha + a \cos \gamma \ \ \ {\rm ve} \ \ \ c = b \cos \alpha + a \cos \beta \end{equation*}

Elimizde üç tane denklem var. Bu denklemlerdeki kenar uzunluklarını bilinenler, cosinus ifadelerini de bilenmeyenler gibi düşünüp, örneğin $\cos \alpha$ bilinmeyenini basit bir lineer cebir denklem sistemi alıştırmasıyla çözdüğümüzde \begin{equation*} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \alpha \end{equation*} eşitliği karşımıza çıkar ki bizim de zaten göstermemiz gereken şey buydu.

İşaret: $\angle BAC$ dik açı ise, o zaman $\cos \alpha = 0$ olur ve cosinus teoremi uyarınca $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ eşitliğine ulaşırız. Ama bu Pisagor teoreminden başka bir şey değildir!

Ödev: $ABC$ üçgeninde bir iç açının geniş açı olması durumunda da cosinus teoreminin doğru olduğunu gösteriniz.

Halide Edib'in Horne'a yazdığı mektubun transliterasyonu

Osmanlı'nın son demlerinde bir eğitim hamlesi yapılır ve bu kapsamda 1910'lu yılların başında Halide Edib Adıvar, Horne'un eğitimle ilgili bir kitabını Talim ve Terbiye başlığı altında tercüme eder. Hem Horne'un eserini hem de Halide Edib'in (eski harflerle) tercümesini internet arşivinden bulup indirebilirsiniz. Kitap hem Osmanlıca okuma alıştırması yapmak hem de İngilizce'den Osmanlıca'ya tercüme örneği görmek için iyi bir kaynak. Sonuçta Halide Edib Türk edebiyatına yaptığı katkıların yanı sıra Shakespeare'den de çeviriler yapmıştır. Adıvar'ın müteercim sıfatıyla o yılların havasını yansıtan bir mektubu var eserin yazarına. Aşağıdadır.

---

Muallim Horne'a

Muhterem Efendim,

Bundan iki sene evvel bana talim ve terbiyenin beni meşgul edeceğini söylemiş olsalardı inanmazdım. Belki size de Türkiye'nin bir köşesinde eserinizin -süluku talime yeni giren- bir hemmesleğe ilham olacağını söyleseler hayret ederdiniz.

Bundan iki sene evvel Türkler inkılabını yaptı. Bu Türk tarihinde, Türk milletinin ilk inkılabı, hüviyetini ispat eden ilk harekettir. Ondan evvel Türk tarihi cedden ali birkaç padişahın şahsiyetleri ve muvaffakiyetleri etrafında devreder.

Yine aynı zamanda bütün hakiki Genç Türkler bir şeyi düşünmeye başladılar: gayei hayallerini fena bulmayacak bir surette muhafaza ve idame etmek. Bunun için herkes bir çare düşündü. Kimisi kuvvetli bulunmak için orduyu ıslah etmek, kimisi umuru nafiayı, kimisi sanayii, kimisi de ticaret ve hırfete ehemmiyet vermek istedi. Fakat hepsinin müşterek olduğu bir nokta vardı, o da maarif! İşte o zaman Londra'daki kitapçım istediğim usulü tedris kitapları arasında tesadüfi olarak sizin eserinizi de göndermişti. Fakat bunu büyük bir takdirle okurken bu yeni hayatın, yeni inkılabın o kadar yakın zamanda müthiş bir tehlike karşısında bulunacağını bilmiyordum.

Vakta ki 31 Mart irticaı yeni binayı hürriyetimizi ilik yer tehlike ile sarstı. O vakit birden bire bütün sürati mümkine ile gayei hayallerimizi milletin dimağını haketmenin, milli emellerimizi milletin kalbine bina etmenin mübremiyetini hissettim. Anladım ki, hüviyetimiz, yani milletin, ırkın salahı ve necatı için titreyen benliğimiz fena bulmadan, kuvvetini kaybetmeden öteki nesle intikal etmeli, yeni esaslarımız milletin yarınki çocuklarına canlı, müessir bir tarzda geçmeli. Bir de anladım ki hüviyetimizi öteki nesle en canlı tarzda vermek yazıdan, kitaptan ziyade talim ile olacak.

Milletimizin bekası için vatandaşlarımın, kardeşlerimin kimisi silah başına, kimisi dairelere, kimisi taşralara gitti. Bir kısmı da sınıf ve mektep başına gitti. Bütün bu milli beka ve tealimiz için kimi canıyla, kimi dimağıyla, kimi de ehliyeti ile çalışmaya mecbur oluyor. Terakki ve tekamülü milelde talimin kıymeti felsefiyesini, kıymeti ameliyesini bana takdir ettiren büyük ruhlar beni mektep ve sınıf karşısına attığı zaman kitabınızdan iyi bir rehber buldum. Eserinizin mukaddimesinde "Eğer bu cilt hemmesleklerimin vezaifini kolaylaştırır ve talim ve terbiyenin yolunu gösterirse müellif mükafatını görmüş olur." diyorsunuz. Ben ümit ediyorum ki kavmi, içtimai, talimi kusur ve noksanlarımızı nazarı itibare alarak Türkler'e tatbike çalıştığım eseriniz benim gibi amali milliyemizi genç dimağlara yerleştirmeye azmetmiş genç muallimlere bir rehber olur. Bilmem bu size bir mükafatı maneviye olur mu, fazlı muhterem?

Nuruosmaniye, Teşrinievvel, 1324

Halide