Carter mektubu

STATEMENT

NİYET BEYANI

This Voyager spacecraft was constructed in the United States of America. We are a community of 240 million human beings among the more than 4 billion who inhabit the planet Earth. We human beings are still divided into nation states, but these states are rapidly becoming a single global civilization. We cast this message into the cosmos. It is likely to survive a billion years into our future, when our civilization is profoundly altered and the surface of the Earth may be vastly changed. Of the 200 billion stars in the Milky Way galaxy, some --perhaps many-- may have inhabited planets and spacefaring civilizations. If one such civilization intercepts Voyager and can understand these recorded contents, here is our message: This is a present from a small distant world, a token of our sounds, our science, our images, our music, our thoughts and our feelings. We are attempting to survive our time so we may live into yours. We hope someday, having solved the problems we face, to join a community of galactic civilizations. This record represents our hope and our determination, and our good will in a vast and awesome universe. [Signature] President of the United States of America THE WHITE HOUSE June 16, 1977 NASA

Voyager namlı bu feza mekiği Amerika Müttehid Hükumetleri'nde inşa edilmiştir. Bizler, Yerküre adlı seyyarede meskun ve yekunu 4 milyarı mütecaviz beşer içinde 240 milyonluk bir cemiyetiz. Beşer, milli devletlere taksim edilmişse de mezkur devletler hızla yekpare, küresel bir medeniyete tahavvül vetiresindedir. Medeniyetimizin temelinden tağyir edilip Yerküre sathının muazzam ölçüde değiştiği istikbalde dahi belki bir milyar yıl baki kalacak tebliğimiz tüm kainata! Kehkeşandaki 200 milyar yıldızdan bazıları hatta pek çoğu meskun seyyarelere ve fezada seyahat kabiliyetinde medeniyetlere havi olabilir. Böylesi bir medeniyetin Voyager'a tesadüfü ve burada mukayyed muhtevayı fehmi halinde ona tebliğimiz şudur: Sesimizin, fennimizin, sanat ve musikimizin, fikriyat ve hissiyatımızın bir numunesi olan bu mekik uzak ve küçük bir dünyanın hediyesidir. Devrimizin meseleleriyle mücadele içindeyiz; gayemiz devrinize vasıl olmaktır. Bir gün yüzleştiğimiz meseleleri halledip kehkeşan medeniyetleri camiasına dahil olma umudundayız. İşbu beyan muazzam ve müthiş bir kainatta yer alan bizlerin umudunu, kararlılığını ve iyi niyetini temsil eder. [İmza] Amerika Müttehid Hükumetleri Reisicumhuru BEYAZ SARAY 16 Haziran 1977 Milli Havacılık ve Feza Dairesi

Kirişler dörtgeninde Heron formülü ve çevrel çemberin yarıçapı

BU POSTAYI PDF FORMATINDA İNDİRMEK İÇİN TIKLA!

Şekilde $ABCD$ kirişler dörtgeni olmak üzere bu dörtgenin kenar uzunlukları $a:=|AB|$, $b:=|BC|$, $c:=|CD|$ ve $d:=|DA|$ veriliyor. Bu postada amacımız verilenler cinsinden dörtgenin alanını ve çevrel çemberin yarıçapını ifade etmek. Soruya ilk olarak Mustafa Kemal Bey'in twitter hesabından paylaştığı bir formülde rastladım. Daha sonra takipçilerinden birisi verilen yarıçap formülünün tarihçesine dair bir bilgi de paylaşmış. Anladığım kadarıyla kirişler dörtgeninin yarıçapına ait formül Avrupa'da 18. yy, Hindistan'da ise 14. yy'da biliniyormuş.

Önce kirişler dörtgeninde Heron formülünü ispatlayacağız. Şekile referansla $e:=|AC|$ uzunluğunu ve $\varphi:= m(\angle ABC)$ açısını tanımlayalım. Kirişler dörtgeninde çalıştığımız için $m(\angle ADC) = \pi - \varphi$ olacaktır. İki tane bilinmeyenimiz var. Bu iki bilinmeyen için $ABC$ ve $ACD$ üçgenlerinde cosinus teoremini uygulayarak $e$ uzunluğunu yok edecek ve $\cos \varphi$ değerini verilenler cinsinden yazacağız. $\cos (\pi - \varphi) = - \cos \varphi$ olduğunu hatırlatıyoruz.

\begin{eqnarray}\nonumber e^{2} &=& a^{2} + b^{2} - 2ab \cos \varphi \\ \nonumber &=& c^{2} + d^{2} + 2cd \cos \varphi \end{eqnarray}

Bu denklemlerden $\cos \varphi$ değeri verilenler cinsinden ifade edildiğinde \begin{equation*} \cos \varphi = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)} \end{equation*} eşitliğine ulaşıyoruz. Alan formülünü ispatlamak için sinus teoremini bu iki üçgende uygulacağız. Ancak bunun için $\sin \varphi$ değerine ihtiyacımız var. Pisagor teoremini kullanalım ama cebirsel terim bataklığında boğulmamak için biraz kurnazlık yapmamız gerekecek. \begin{eqnarray}\nonumber \sin \varphi &=& \sqrt{1-\cos^{2}\varphi} = \sqrt{(1-\cos \varphi)(1+\cos \varphi)} \\ \nonumber &=& \sqrt{\left(1 - \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}\right) \left(1 + \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}\right)} \\ \nonumber &=&\frac{1}{2(ab+cd)} \sqrt{(2ab-a^{2}-b^{2}+2cd+c^{2}+d^{2})(2ab+a^{2}+b^{2}+2cd-c^{2}-d^{2})} \\ \nonumber &=&\frac{1}{2(ab+cd)} \sqrt{[(c+d)^{2}-(a-b)^{2}][(a+b)-(c-d)^{2}]} \\ \nonumber &=& \frac{1}{2(ab+cd)} \sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)} \end{eqnarray} Çalışmamızın zor kısmı bitti! Bundan sonra bu formülün meyvelerini toplayacağız.

Sinus teoremini kullanarak kirişler dörtgeninin alanını hesaplayacağız. $\sin (\pi - \varphi) = \sin \varphi$ özdeşliğini hatırlayalım. O zaman \begin{eqnarray} \nonumber S(ABCD) &=& S(\triangle ABC) + S(\triangle ACD) \\ \nonumber &=& \frac{1}{2} ab \sin \varphi + \frac{1}{2}cd \sin \varphi \\ \nonumber &=& \frac{1}{4} \sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)} \end{eqnarray} bulunur.

İşaret ve ikaz: Yerölçüsünde yıllar önce yayınladığımız bir postada Heron formülü de dahil olmak üzere kenarları verilen bir üçgene ait tüm unsurların ölçüsünü kenarlar cinsinden ifade etmiştik. Orada üçgenler için verdiğimiz Heron formülü ile burada kirişler dörtgeni için ispatladığımız Heron formülü birbirlerinin tam analoğu. Ancak bir fark var! Üçgen için verilen Heron formülü tüm üçgenlere uygulanabilirken kirişler dörtgeninde türettiğimiz Heron formülü tüm dörtgenlere uygulanamaz. Hatta genel bir dörtgenin alanı sadece kenar uzunlukları kullanılarak bulunamaz; açı değerlerine de ihtiyaç vardır. (Neden?) Okur bu ikazı unutarak burada verilen alan formülünü rastgele bir dörtgene uygularsa büyük bir ihtimalle yanlış sonuçlara varacaktır.

Ödev: Kirişler beşgeni için de Heron formülüne benzer bir alan formülü türetilebilir mi?

Çevrel çemberin yarıçapını da hesaplayarak postayı bitirelim. Kirişler dörtgeninin çevrel çemberi aynı zamanda $ABC$ üçgeninin de çevrel çemberidir. O zaman sinus teoreminden $R = \frac{e}{2 \sin \varphi}$ formülü ile bu uzunluğu hesaplayabiliriz. Okur şimdiye kadar yaptıklarımızdan bir alıştırma olarak aşağıdaki formülü kolayca türetebilir. \begin{equation*} e = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}} \end{equation*} Nihayet tüm bulgularımızı birleştirerek yarıçap formülünü gerekli sadeleştirmelerden sonra verebiliriz. \begin{equation*} R = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}} \end{equation*}

İşaret: Gerek yarıçap gerekse alan için türettiğimiz formüllerin permütasyon simetrisini sağlaması lazım. Bu bizim için bir çeşit tutarlılık testidir ve permütasyon simetrisini sağlamayan bir sonucun doğru olma ihtimali yoktur. (Neden?) Her iki formülün de $(a,b,c,d)$ dörtlüsünün tüm permütasyonlarında yine aynı formda kaldıklarını gözleyiniz.

Mantık sorularını çözmek için C

Aşağıdaki mantık sorusunu ve çözümlerini StackExchange'de gördüm. Soruyu cevaplayanlardan DanielV müstearlı kullanıcı çözümünde C++ programlama dilinde yazılmış bir kod ve o kodun çıktısını paylaşmış. Soruyu ve çözümünü buraya taşıyorum. Okunaklığı daha kolay olsun ve benim tarzıma uysun diye kodu biraz uzattım.

Aşağıda listelenen cevaplardan hangisi bu sorunun cevabıdır?
   $p.$ Aşağıdakilerin hepsi.
   $q.$ Aşağıdakilerin hiçbiri.
   $r.$ Yukarıdakilerin hepsi.
   $s.$ Yukarıdakilerden bir tanesi.
   $t.$ Yukarıdakilerin hiçbiri.
   $u.$ Yukarıdakilerin hiçbiri.

Seçenekleri yanlış okumadınız; $t$ ve $u$ seçeneklerinin lafızları aynı. Ancak bu aynılık sadece lafızlarda. Zira gerek sorudan gerekse seçeneklerden kolayca görüleceği üzere, her bir seçeneğin listedeki konumu doğruluğunu etkiliyor.

Problemi çözmek için bilgisayar programı yazmak istiyoruz. O zaman bu önermeleri bilgisayarın anlayacağı bir dilde ifade edelim. Örneğin $p$ önermesi kendinden sonra gelen tüm önermelerin doğru olduğunu söylüyor. Bunu mantıkta $p \iff q \land r \land s \land t \land u$ ile ifade edebiliriz. Benzer şekilde $r$ önermesi ise kendinden önce gelen tüm önermelerin doğru olmasını gerektiriyor: $r \iff p \land q$. Öte yandan $q,t$ ve $u$ önermeleri yadsımayla ilgili; kendilerinden önce veya sonra gelen tüm önermelerin yadsımalarının doğru olması gerekiyor. Örneğin $q \iff \neg r \land \neg s \land \neg t \land \neg u$. Muhtemelen mantık diline aktarması en zor olan önerme $s$ zira üç ayrı durumdan sadece birinin doğru olması yeterli ve bu üç ayrı durumu da tek tek yazmalıyız: $s \iff (p \land \neg q \land \neg r) \lor (\neg p \land q \land \neg r) \lor (\neg p \land \neg q \land r)$.

Bir doğruluk tablosu hazırladığımızda toplam $2^{6}=64$ farklı durum olduğu görülür. Bunun için aşağıdaki C programını yazıp tüm olası kombinasyonları deniyoruz. Program çıktısı bize sadece $t$ önermesinin doğru olabileceğini söylüyor.

#include <stdio.h>

int main(){
   int p, q, r, s, t, u, Tp, Tq, Tr, Ts, Tt, Tu;
   printf("p q r s t u\n");
   for(p=0;p<=1;p++){
      for(q=0;q<=1;q++){
         for(r=0;r<=1;r++){
            for(s=0;s<=1;s++){
               for(t=0;t<=1;t++){
                  for(u=0;u<=1;u++){
                     Tp = Tq = Tr = Ts = Tt = Tu = 0;
                     if(p == (q && r && s && t && u))
                        Tp++;
                     if(q == (!r && !s && !t && !u))
                        Tq++;
                     if(r == (p && q))
                        Tr++;
                     if(s == ((p && !q && !r) || (!p && q && !r) || (!p && !q && r)))
                        Ts++;
                     if(t == (!p && !q && !r && !s))
                        Tt++;
                     if(u == (!p && !q && !r && !s && !t))
                        Tu++;
                     if(Tp && Tq && Tr && Ts && Tt && Tu)
                        printf("%d %d %d %d %d %d\n",p,q,r,s,t,u);
                  }
               }
            }
         }
      }
   }
   return(0);
}

Program çalıştığında çıktısı aşağıdaki gibi oluyor:

p q r s t u
0 0 0 0 1 0