Bir makara probleminde kütlelerin olası tüm hareket yönleri

Aşağıdaki ideal makara düzeneğinde genel olarak birbirinde farklı kütlelere sahip yükler esnemeyen ve gergin bir iple bağlanmıştır. Bu postada olası tüm kütle kombinasyonları için parametre uzayında kütlelerin ivmelenme yönlerini sorgulayacağız.

PDF formatında çözümü indirmek için tıkla.

İki quadratiğin ortak kökü bulunması için gerek ve yeter şart

Soru: $q(X):=aX^{2}+bX+c$ ve $Q(X):=AX^{2}+BX+C$ ile iki kuadratik polinom veriliyor. Bu ikisinin ortak kökleri bulunması için katsayılar üzerindeki gerek ve yeter şartı bulunuz.

İkaz: Burada polinomların gerçel analitik düzlemde kesiştiği noktaları aramıyoruz. Örneğin $x^{2}+1$ ve $-x^{2}-1$ polinomları gerçel analitik düzlemde asla kesişmez ama tüm kökleri ortaktır.

Çözüm: Buna benzer bir problemi geçen yılın son blog postasında çözmüştük. Orada kullandığımız temel fikir aradığımız özellik sağlanınca sıfır olan ve kökler cinsinden yazılabilen simetrik bir indikatör fonksiyonu icat etmekti. Her ne kadar indikatör fonksiyon kökler cinsinden yazılsa da permütasyon simetrisinden dolayı kökleri hesaplamadan da değeri bulunabiliyordu. Bu problemi çözerken de böyle yapacağız ve adına resultant denilen bir fonksiyon tanımlayacağız. $q$ ve $Q$ polinomlarının kökleri sırasıyla $\{r_{1},r_{2}\}$ ve $\{s_{1},s_{2}\}$ olsun. O zaman ilk defa J. J. Sylvester tarafından tanıtılan resultant fonksiyonu \[ R(r_{1},r_{2};s_{1},s_{2}) := A^{2}a^{2}(r_{1}-s_{1})(r_{1}-s_{2})(r_{2}-s_{1})(r_{2}-s_{2}) \] ile verilir.

İşaret: Polinomların derecesi 2 olduğundan $a \ne 0$ ve $A \ne 0$ olmalıdır. O zaman $R$ fonksiyonunun sıfır olması için gerek ve yeter şart $r_{i}=s_{j}$ biçiminde bahsi geçen polinomların en az bir ortak köke sahip olmalarıdır.

İşaret: Resultant fonksiyonu $\{r_{1},r_{2}\}$ arasındaki permütasyonlara göre simetriktir. Benzer şekilde $\{s_{1},s_{2}\}$ değişkenleri arasındaki permütasyonlara göre de simetriktir. Ancak tüm değişkenleri alıp bir permütasyon yaparsanız simetri bozulabilir.

Resultantın simetrik olması onu Viete-Girard polinomlarını kullanarak katsayılar cinsinden ifade edebileceğimiz anlamına geliyor. Cebirin temel teoremine göre $Q(X)=A(X-s_{1})(X-s_{2})$ olduğundan \[ R = a^{2} Q(r_{1})Q(r_{2})\] yazabiliriz.

İşaret: Bize resultantın değerinden ziyade işareti lazım ve işaret $Q$ polinomunun $q$ polinomunun köklerindeki işaretine bağlı. Bir polinomun işaretinin başka bir polinomun köklerindeki değerinin sorgusuna literatürde Tarski sorgusu denir ve cebirsel geometeri literatüründe bu problemin kendine özgü bir yeri vardır.

Resultant, Sylvester matrisleri ve determinantları kullanılarak etkin bir şekilde hesaplanabilir. Biz burada problemin küçüklüğünden dolayı sadece simetrik fonksiyonları kullanacağız. Hatırlatalım: $\sigma_{1} := r_{1}+r_{2} = -b/a$ ve $\sigma_{2} := r_{1}r_{2} = c/a$ ile tanımlanmaktaydı. \begin{eqnarray}\nonumber R &=& a^{2}(Ar_{1}^{2}+Br_{1}+C)(Ar_{2}^{2}+Br_{2}+C) \\ \nonumber &=& a^{2} \left(A^{2}r_{1}^{2}r_{2}^{2} + B^{2}r_{1}r_{2} + C^{2} + ABr_{1}r_{2}(r_{1}+r_{2}) + AC(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}) + BC(r_{1}+r_{2})\right) \\ \nonumber &=& a^{2}\left(A^{2} \frac{c^{2}}{a^{2}} + B^{2}\frac{c}{a} + C^{2} - AB \frac{bc}{a^{2}} + AC((r_{1}+r_{2})^{2}-2r_{1}r_{2}) - BC \frac{b}{a} \right) \\ \nonumber &=& A^{2}c^{2} + B^{2}ac + C^{2}a^{2} - ABbc + ACb^{2} - 2ACac - BCab \\ \nonumber &=& (Ac-Ca)^{2} - (Ab-Ba)(Bc-Cb) \end{eqnarray}

Kübik bir polinomda birbirinin negatifi iki kök olup olmadığı nasıl anlaşılır?

Kök yapısını soruşturduğumuz polinom aşağıdaki denklemle verilsin. \[ p(X) = AX^{3}+BX^{2}+CX+D\] Bizden çözmemiz istenen problem şöyledir:

Soru: Kübik bir polinomun köklerinin $(\pm r, s)$ yapısında olması için katsayılar üzerindeki gerek ve yeter şart nedir? Böylesi bir polinomun köklerini hesaplayınız.

Çözüm: Bu sorunun başka cebirsel cingözlüklerle de çözümü vardır mutlaka ama biz bütün polinomlara genelleştirilebilecek ve diskriminant fonksiyonunu taklit eden bir indikatör fonksiyonla bu sorunu çözeceğiz. Hatırlanacağı üzere diskriminant çakışık kök olup olmadığının sinyalini veren ve simetrik bir fonksiyondu. Benzer şekilde birbirinin negatifi iki kök bulunduğunda sıfırlanan ve simetrik bir fonksiyon tanımlayarak işe başlayalım. \[ \Xi(r_{1},r_{2},r_{3}) := (r_{1}+r_{2})(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{3})\] Bu fonksiyonun permütasyonlar altında simetrik olduğu ve birbirinin negatifi iki kök bulunduğunda sıfır olacağı barizdir. Bu çeşit permütasyon simetrisine sahip başka temel fonksiyonlar da var: \begin{eqnarray}\nonumber \sigma_{1}(r_{1},r_{2},r_{3}) &:=& r_{1} + r_{2} + r_{3}, \\ \nonumber \sigma_{2}(r_{1},r_{2},r_{3}) &:=& r_{1}r_{2} + r_{1}r_{3} + r_{2}r_{3}, \\ \nonumber \sigma_{3}(r_{1},r_{2},r_{3}) &:=& r_{1}r_{2}r_{3}. \end{eqnarray} Literatürde bu temel simetrik fonksiyonlara Viete-Girard simetrik fonksiyonları deniyor. Muhtemelen lise matematik eğitimi sırasında bu fonksiyonları ve bunların polinomların katsayıları cinsinden ifadesini gördünüz: $\sigma_{1} = -B/A$, $\sigma_{2} = C/A$ ve $\sigma_{3} = -D/A$.

Burada ispatına yer vermeyeceğimiz bir teorem tüm simetrik fonksiyonların Viete-Girard simetrik fonksiyonları cinsinden ifade edilebileceğini söyler. Biz de öyle yapacak ve $\Xi$ fonksiyonunu $\sigma_{i}$ cinsinden yazmaya çalışacağız. \begin{eqnarray}\nonumber \Xi &=& (\sigma_{1}-r_{3})(\sigma_{1}-r_{2})(\sigma_{1}-r_{1}) \\ &=& (\sigma_{1}^{2} - \sigma_{1}(r_{2}+r_{3}) + r_{2}r_{3})(\sigma_{1}-r_{1}) \\ \nonumber &=& \sigma_{1}^{3} - \sigma_{1}^{2}r_{1} - \sigma_{1}^{2}(r_{2}+r_{3}) + \sigma_{1}r_{1}(r_{2}+r_{3}) + \sigma_{1}r_{2}r_{3} - r_{1}r_{2}r_{3} \\ \nonumber &=& \sigma_{1}^{3} - \sigma_{1}^{2}(r_{1}+r_{2}+r_{3}) + \sigma_{1}(r_{1}r_{2} + r_{1}r_{3} + r_{2}r_{3}) - \sigma_{3} \\ \nonumber &=& \sigma_{1}\sigma_{2} - \sigma_{3} \end{eqnarray} Kübik bir polinomda $A \ne 0$ olduğundan, $\Xi = 0 \iff A^{2} \Xi = 0$ olacaktır. Katsayılar cinsinden yazıldığında elimizdeki indikatör fonksiyonu aşağıdaki gibi sade bir forma indirgenir. \[ \boxed{A^{2}\Xi = AD-BC} \] Problemi çözdük! Gerek ve yeter şart kutu içindeki ifadenin sıfır olması şeklinde zuhur etti.

Problemin kalan kısmında kökleri bulmamız gerekiyor. İlkin $\sigma_{1}= r - r + s = s = -B/A$ olduğundan, köklerden ayrık olanı hemen bulunur. Dahası $\sigma_{3} = -r^{2}s=-D/A$ ya da $r=\sqrt{-D/B}=\sqrt{-C/A}$ olur ve problemin çözümü tamamlanır.

Açık konuşmak gerekirse bu problemin çözümünün daha zor ve uzun tutmasını bekliyordum. Öyle olmadı. Bir de dördüncü dereceden polinomlar için benzer problemler çıkarıp onları çözelim.

Ödev

$A \ne 0$ olmak üzere genel bir kuartik polinom verilsin. \[ f(X) = AX^{4} + BX^{3} + CX^{2} + DX + E \]

1. Kök yapısının $(\pm r, s_{1},s_ {2})$ şeklinde zuhur etmesi için gerek ve yeter şartı bulunuz. (Köklerden birisi ötekinin negatifi.)
2. Kök yapısının $(\pm r, \pm s)$ şeklinde zuhur etmesi için gerek ve yeter şartları bulunuz. (Kökler negatif çiftler halinde.)
3. Kök yapısının $(r_{1}, r_{2}, r_{3},s)$ ve $r_{1}+r_{2}+r_{3}=0$ şeklinde zuhur etmesi için gerek ve yeter şartı bulunuz. (Köklerden birisi diğer ikisinin toplamının negatifi.)

Umarım 2024 herkes için güzel geçer.