Elips parçasından elipsin kütle merkezini cetvel ve pergel ile bulma

Daha önce bu blogda Kepler kanunları çerçevesinde elipsi çalışmış ve orijinin odaklardan birisiyle çakışık olduğu analitik düzlemde elipsin denklemini türetmiştik. Böyle bir yaklaşım astronomik uygulamalarda çok büyük kolaylık sağlıyordu çünkü referans noktamız güneş gezegenlerin yörüngesinin (kütle) merkezinde değil, odaklardan birisindeydi.

Şöyle bir problemle bugünkü konuyu motive edelim. Pluto'yu gözlüyorsunuz ve onu ilk keşfeden astronom sizsiniz. Kepler kanunlarından ve Newton'ın genel çekim teorisinden biliyorsunuz ki Pluto'nun yörüngesi bir elips, en azından yaklaşık olarak. Hemen şu soruyu soruyorsunuz: Pluto'nun yörüngesinin majör ve minör eksenleri nerede? Ah, unutmadan söyleyelim, bu farazi keşfinizde her şey canınızın istediği gibi değil. Güneş nedense kararmış, onu referans alamıyorsunuz. Yapabileceğiniz tek şey Pluto'nun yörüngesini bir süreliğine takip edip bir elips parçası çizmek. Yörüngenin parametrelerini çıkarabilmek için bir Pluto yılı bekleyecek kadar zamanınız yok. Sonuçta bir Pluto yılı yaklaşık 250 Dünya yılı tutuyor. Ne yapıp edip elips parçasından yörüngeyle ilgili parametreleri çıkarmanız gerekiyor. Ne yaparsınız?

Bu problemi kurdum ve çözmeden önce parabolde yaptıklarımızı (bak. Problem 17 ve 19) yineleyeceğimizi sandım ama durum o kadar kolay değildi. Öte yandan fazla da şikayet etmenin alemi yok. Sonuçta dermansız derde düşmüş değiliz! 250 yıl bekleyip Pluto'nun yörüngesinin ortaya çıkmasını bekleyebiliriz... Mürailik bir yana, biz işe operasyonel bazı lemmata ile başlayalım.

Lemma 1: Yarı majör ve yarı minör eksenleri sırasıyla $a$ ve $b$ olan elips ile $l: \ y=mx+n$ doğrusunun kesişim noktaları $P$ ve $Q$ olsun. O zaman \begin{eqnarray}\nonumber x_{P,Q} &=& \frac{-a^{2}mn \mp ab\sqrt{\Delta}}{\Delta + n^{2}} \\ \nonumber y_{P,Q} &=& \frac{b^{2}n \mp abm\sqrt{\Delta}}{\Delta + n^{2}} \end{eqnarray} ile verilir. Burada $\Delta := a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2}$ ile tanımlanıyor.
İspat: Elips ile doğru kesişiyorlarsa, kesiştikleri noktaların koordinatları hem elipsin hem de doğrunun denklemini sağlar. Koordinatları $(\xi,\eta)$ olan bir noktada elips ve doğru kesişsin. O zaman \begin{equation*} b^{2}\xi^{2} + a^{2}(m\xi+n)^{2} = a^{2}b^{2} \end{equation*} denklemini yeniden düzenlediğimizde aşağıdaki kuadratik denklemle karşılaşıyoruz. \begin{equation*} (b^{2}+a^{2}m^{2})\xi^{2} + 2a^{2}mn\xi + a^{2}(n^{2}-b^{2}) = 0 \end{equation*} Bu denklemin diskriminantı $4a^{4}m^{2}n^{2}-4a^{2}(n^{2}-b^{2})(a^{2}m^{2}+b^{2})$ ya da $4a^{2}b^{2}(a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2})$. Kuadratik formül kullanılarak $x_{P,Q}$ noktasını veren denklem ispatlanır. Bulduğumuz nokta doğru üzerinde olduğundan $\eta = m\xi + n$ ile de $y_{P,Q}$ noktasını veren denklemin ispatı tamamlanmış olur. QED

İşaret: $\Delta < 0$ ise, o zaman tabii ki elips ile doğru kesişmezler. Öte yandan $\Delta = 0$ elips ile doğrunun teğet olma şartıdır.

Şimdi birbirine paralel olacak şekilde elipse kiriş iki doğru, $c_{1}$ ve $c_{2}$ alalım. Bu doğruların eğimleri, $m$ olsun, aynıdır. Ama kesme noktaları, $n_{1}$ ve $n_{2}$ diyelim, farklıdırlar. Elips içinde birbirine paralel iki kirişin orta noktaları, $U_{1}$ ve $U_{2}$ olsun, Lemma (1) kanalıyla kolayca hesaplanılabilir. Örneğin \begin{eqnarray}\nonumber x_{U_{1}} &=& -\frac{a^{2}mn_{1}}{a^{2}m^{2}+b^{2}} \\ \nonumber y_{U_{1}} &=& \frac{b^{2}n_{1}}{a^{2}m^{2}+b^{2}} \end{eqnarray} olur. Devamla $U_{1}$ ve $U_{2}$ noktalarından geçen doğru, adına $l$ diyelim, analitik düzlemde $y = Mx + N$ denklemiyle verilsin. O zaman bu doğrunun eğimi aşağıdaki gibi olur. \begin{equation*} M=\frac{y_{U_{2}}-y_{U_{1}}}{x_{U_{2}}-x_{U_{1}}} = -\frac{b^{2}}{a^{2}m} \end{equation*} Yani kirişlerin orta noktalarını birleştiren doğrunun eğimi bu kirişlerin kesme noktalarından bağımsızdır. Ama daha önemlisi $N = y_{U_{1}}-Mx_{U_{1}}$ heaplanırsa tam olarak $N=0$ olduğu ortaya çıkar! Diğer bir ifadeyle

Lemma 2: Elips içinde birbirine paralel iki kirişin orta noktalarını birleştiren doğru, elipsin kütle merkezinden geçer.

Bu fikirleri kullanarak verilen bir elips parçasının kütle merkezini cetvel ve pergelle tayin edebiliriz.

Teorem 1: (Elips parçasından elipsin kütle merkezinin bulunması.)

1. Verilen bir elips parçasının üstünde alınan iki farklı noktadan ($P$ ve $Q$) geçen kiriş ve bu kirişin orta noktası ($U$) tespit edilir. Bu kirişe paralel ikinci bir kiriş daha çizilir ve orta noktası $V$ tespit edilir. $U$ ve $V$ noktalarından geçen doğru $l_{1}$ çizilir.
2. Yukarıdaki işlemler $PQ$ kirişine paralel olmayan (ama kendi aralarında paralel) başka iki kiriş için de tekrarlanır ve bu iki kirişin orta noktalarından geçen $l_{2}$ doğrusu çizilir.
3. $l_{1}$ ve $l_{2}$ elipsin kütle merkezinde kesişirler.

Astronomik uygulamalar için elips

Kepler kanunlarını veya bu kanunların hem bilim hem de hristiyanlık tarihindeki etkisini burada anlatmaya gerek görmüyorum. Güneş sistemindeki gezegenlerin hareketine dair olan bu kanunlardan ilkine göre gezegen odaklarından birisinde güneşin bulunduğu bir elips üzerinde hareket eder. Bu özel konumdan dolayı, astronomide güneş-gezegen dinamiği çalışılırken güneş (yani odaklardan birisi) orijinle çakışık olarak ele alınır. Bu genellikle bizim yabancısı olduğumuz bir konfigürasyondur, çünkü analitik geometride elipsin kütle merkezini orijine oturtmak daha kolaydır. O zaman bizim geometrici olarak vazifemiz Kepler kanunlarına uygun bir elips denklemi vermektir.

İşe elipsin tanımından başlayacağız: Adına odaklar denilen iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan düzlemdeki bütün noktaların yerine elips denir. Kuşkusuz elipsin bundan başka tanımları da var. Ama tanımlardan birisini seçip, başlamak gerekiyor. Aynı zamanda mekanik olarak elips çizimi için en uygun tanım da budur.

Şimdi genelliği kaybetmeden odakları $F_{1}:=(-f,0)$ ve $F_{2}:=(f,0)$ noktalarına yerleştirelim. Elips $x$ eksenini $(a,0)$ noktasında kessin. O zaman, elipsin tanımı uygulandığında \begin{equation*} a - f + a + f = 2a =: K \ ({\rm bir \ sabit}) \end{equation*} olması gerektiği görülür. Devamla elipsin $y$ eksenini $(0,b)$ noktasında kestiğini kullanırsak, o zaman da yine elipsin tanımı gereği \begin{equation*} 2\sqrt{b^{2}+f^{2}} = K = 2a \end{equation*} olur. Her iki tarafın karesi alınıp bu denklem yeniden düzenlendiğinde odak uzaklığını ifade edebiliyoruz. \begin{equation*} f = \sqrt{a^{2}-b^{2}} \end{equation*} Son olarak herhangi bir nokta için de elipsin tanımını kullanalım. \begin{equation*} \sqrt{(x-f)^{2}+y^{2}} + \sqrt{(x+f)^{2}+y^{2}} = 2a \end{equation*} Her iki tarafın karesi alınıp sadeleştirmelerden sonra aşağıdaki sonuca ulaşıyoruz. \begin{equation*} x^{2}+f^{2}+y^{2} + \sqrt{\{(x-f)^{2}+y^{2}\}\{(x+f)^{2}+y^{2}\}} = 2a^{2} \end{equation*} Bu denklemde köklü ifade tek başına bırakılıp, her iki tarafın karesi bir daha alınırsa, o zaman bazı sadeleşmelerden sonra elips için aşağıdaki -liseden alışık olduğumuz- denkleme ulaşıyoruz. \begin{equation*} \bbox[5px,border:3px solid black]{b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}b^{2}=0} \end{equation*}

Şimdi şekilde görüldüğü gibi orijini odaklardan birisine mesela $F_{1}$ noktasına kaydıralım. Bu kaydırmayı elipsin denkleminde $x \to x-f$ koyarak ifade edebiliriz: $b^{2}(x-f)^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$ denklemini açıp sadeleştirmeleri ve gerekli yeniden düzenlemeleri yaptığımızda aşağıdaki sonuca ulaşıyoruz. \begin{equation*} x^{2} - b^{2} - 2fx + (a/b)^{2}y^{2} = 0 \end{equation*} Şimdi elipsle ilgili bir katsayıyı tanımlamanın zamanı geldi. Bir elipsin dışmerkezlilik katsayısı (hariç an'il-merkeziyyet, eccentricity) $\epsilon := \tfrac{f}{a} = \sqrt{1 - \tfrac{b^{2}}{a^{2}}}$ denklemiyle tanımlanıyor. $f>0 \Rightarrow a>b$ gerektirdiğinden, $\epsilon \in (0,1)$ olur. $\epsilon=0$ ise elips bir çemberdir. O zaman şöyle diyebiliriz. $\epsilon$ elipsin çemberden sapmasını ölçer. Dışmerkezlilik katsayısını kullanıp denklemlerden $b$ ve $f$ niceliklerini elediğimizde çalışmamız gerekli elips denklemi şöyle olur. \begin{equation*} x^{2} - (1-\epsilon^{2})a^{2} - 2\epsilon a x + \frac{1}{1-\epsilon^{2}}y^{2} = 0 \end{equation*}

Ne yazık ki astronomide bu da yetmiyor! Çünkü genel çekim kanununda güneş ile gezegen arasındaki mesafe $r := \sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq 0$ kullanılıyor ve kutuplu koordinatlarda denklemleri ifade etmek problemin simetrisine de uyacağı için daha bir önem kazanıyor. O zaman $x=r\cos\phi$ ve $y = r\sin \phi$ dönüşümlerini uyguladığımızda elipsin kutuplu koordinatlardaki denklemi için bazı işlemlerden sonra $r^{2} - \{\epsilon r \cos \phi + (1-\epsilon^{2})a^{2}\}^{2}=0$ denklemine ulaşıyoruz. Bu denklemi çarpanlarına ayırıp $r$ için çözdüğümüzde Kepler ve diğer astronomların kullandıkları elips denklemine ulaşıyoruz. \begin{equation*} \bbox[5px,border:3px solid black]{r = \frac{(1-\epsilon^{2})a}{1 - \epsilon \cos \phi}} \end{equation*}

Güneşe en yakın mesafe perihelion $\phi = \pi$ durumunda ölçülür ve $(1-\epsilon)a$ kadardır. En uzak mesafe ise aphelion $\phi=0$ durumundadır ve değeri $(1+\epsilon)a$ kadardır. Aphelion ve perihelion ölçülerek gezegenin yörüngesi için $a$ (yarı majör eksen) ve $\epsilon$ değerleri kolayca tayin edilebilirler.

Cetvel ve pergelle parabol parçasının odağının, simetri ekseninin ve tepe noktasının bulunması

Daha önce bu blogda bir parabol parçası üzerinde verilen bir noktaya cetvel ve pergel ile teğet çizmeyi tarif etmiştik. Bugün aynı çerçevede konuyu ilerleteceğiz ve önceki postada (bundan sonra P1 diyelim) kullandığımız notasyondan ve önermelerden faydalanacağız.

Teorem 1: (Parabolün simetri eksenine paralel gelen ışınların yansıması.) Bir parabol parçası ve onun üzerinde bir $P$ noktası verilsin. Parabolün simetri eksenine paralel ve $P$ noktasından geçen $s$ doğrusu çizilsin. (bak. P1 Teorem (2)) Parabole $P$ noktasında $t$ teğeti çekilsin. (bak. P1 Teorem (3)) $P$ noktasından geçen ve $t$ teğetine dik $n$ doğrusu çizilsin. $s$ ve $n$ doğruları arasındaki açıya $\alpha$ diyelim. $n$ doğrusu ile $\alpha$ açısı yapan ikinci bir doğru, adına $r$ diyelim, çizilsin. $s$ ışını $P$ noktasından yansıdıktan sonra $r$ doğrusu üstünde kalır.
İspat: Bariz. QED (Buradaki açı dublikasyonunun temel Öklit çizimleriyle yapılabileceğini vurguluyoruz.)

Cetvel ve pergelle simetri eksenine paralel ve parabole teğet çizmeyi daha önceki yazımızda hallettiğimiz için burada yansıma kanununu ve temel Öklit çizimlerini kullanarak ışınların parabol yüzeyinden yansımasına dair çizimi yapmak kolay oldu. Şimdi aynı işi bir de analitik geometri çerçevesinde yapalım. Bu bize fen ve mühendisliğin pek çok branşında defalarca karşımıza çıkacak, çok kullanışlı bir sonuç verecektir.

Lemma 1: Parabole $P:=(\xi,\xi^{2})$ noktasında simetri eksenine paralel gelen ışın, bu noktadan yansıdıktan sonra $y=\tfrac{4\xi^{2}-1}{4\xi}x + \tfrac{1}{4}$ doğrusu üzerinde kalır.
İspat: Parabole $P$ noktasında çekilen teğetin eğimi $\tan \alpha := 2\xi$ kadardır. (bak. P1 Lemma (2)) Parabolün simetri eksenine paralel gelip $P$ noktasından yansıyan ışının eğimi $\tan(2\alpha - \tfrac{\pi}{2})$ kadar olması gerektiği üstteki şekilden görülür. Temel trigonometri kullanılarak bu değerin $(\tan^{2}\alpha -1)/2 \tan \alpha$ olduğu gösterilebilir. Demek ki yansıyan ışının eğimi $(4\xi^{2}-1)/4\xi$ kadarmış. Bu ışın $(\xi,\xi^{2})$ noktasından geçtiğine göre, basit argümanlar sonucunda kesme noktasının $1/4$ olması gerektiği görülür.

İşaret: Yansıyan ışın parabolün simetri eksenini $F:=(0,1/4)$ noktasında kesiyor. Bu noktanın koordinatı ışının parabol üzerinde hangi noktadan yansıdığından bağımsız! O zaman parabolün simetri eksenine paralel gelen her ışın $F$ noktasından geçer ve bu noktaya parabolün odağı denir. Parabolik bir aynayı güneşe tuttuğunuzda bütün ışınlar odak noktasından geçeceğinden, bu noktada sıcaklık aniden yükselecektir. Efsane doğruysa Arşimet, Roma donanmasının gemilerini parabolik aynalar kullanarak yakmıştır. (Bu konuya daha önce teferruatlı bir şekilde bu blogda değinmiştik.) Spektroskopide, optikte ve akustikte ışınları ve dalgaları odaklamaya çalışan insanlar parabolik aynalar ve kubbeler kullanırlar. Bu fikrin tersi de doğrudur. Noktasal bir ışın ya da dalga kaynağını parabolik bir aynanın odağına yerleştirdiğinizde, aynadan yansıyan ışınlar parabolün simetri eksenine paralel yayılırlar. Buna optik spektroskopide kolimasyon denir.

Teorem 2: (Parabol parçasının simetri ekseninin bulunması.) Verilen bir parabol parçası üzerinde $P$ ve $Q$ noktaları alınsın. Bu noktalara parabolün simetri eksenine paralel gelen $s_{P}$ ve $s_{Q}$ ışınları (bak. P1 Teorem (2)), sırasıyla $r_{P}$ ve $r_{Q}$ ışınları olarak yansısınlar. (bak. Teorem (1)) $r_{P}$ ve $r_{Q}$ ışınlarının kesişim noktasına $F$ diyelim. $F$ noktasından geçen ve $s_{P}$ doğrusuna paralel olan, adına $y$ diyelim, doğru parabolün simetri eksenidir.
İspat: (1) nolu lemmanın ispatından da görüleceği üzere parabolün simetri eksenine paralel gelen ışınlar, hangi noktadan yansıdıklarına bakılmaksızın, parabolün simetri eksenini sabit bir noktada, odak noktasında keserler. Teoremde verilen $r_{P}$ ve $r_{Q}$ ışınları odak noktasından geçeceğine göre, bu ışınların kesişim noktası simetri ekseni üzerindedir. QED

Parabol parçasının hem odak noktasını hem de simetri eksenini cetvel pergel çizimiyle bulmayı tarif ettik. Artık tepe noktasının bulunması nisbeten basit bir iştir.

Teorem 3: (Parabol parçasından parabolün tepe noktasının bulunması.) Önce parabol parçasının simetri ekseni bulunur. (bak. Teorem (2)) Parabol parçası üstündeki herhangi bir $P$ noktasından simetri eksenin dikme çekilir. Bu dikmenin ekseni kestiği noktaya $Q$ diyelim. Daha sonra parabole $P$ noktasından bir teğet çekilir. Bu teğetin simetri eksenini kestiği noktaya da $R$ diyelim. $Q$ ve $R$ noktalarının orta noktası $T$ tayin edilir. $T$ parabolün tepe noktasıdır.
İspat: $P=(\xi,\xi^{2})$ noktasının simetri eksenine izdüşümü $Q=(0,\xi^{2})$ olur. P1 Lemma (2) uyarınca parabole $P$ noktasında çekilen teğet simetri eksenini $R=(0,-\xi^{2})$ noktasında keser. Buradan $T=(0,0)$ olduğu barizdir. QED

İşaret: Daha önce parabolün $y$ (simetri) eksenini bulmuştuk. Tepe noktası ise $x$ ile $y$ eksenlerinin kesişmindedir. O zaman simetri eksenine tepe noktasından çekilen dikme basitçe $x$ eksenini verecektir.