Nedir, Allah aşkına nedir şu yükseltgenme basamağı?

Temel ve genel kimyayla ilk tanıştığımız günlerde adına yükseltgenme basamağı (oxidation state, oxidation number) denilen bir kavrama maruz kalırız. Bir bileşik içinde yer alan her element için ayrı ayrı tayin edilen bu sayı için, bir takım kurallar ezberlememiz gerekir. Bu kuralların yine bir çoğunun istisnaları vardır. Örneğin halojenlerin yükseltgenme basamağının "genellikle" -1 olduğu söylenir ancak perklorattaki klorun yükseltgenme basamağı +7'dir. İstisnaları olan bu kuralları somut fiziksel bir temele oturtmak da çoğu zaman zordur. Kabul, sofra tuzunda sodyumun hem yükü hem de yükseltgenme basamağı aynıdır ancak aynı şey sudaki oksijen için söylenemez.

Kuralları istisnalarla dolu olup çoğunlukla yük gibi somut bir şeyle de özdeşleştiremediğimiz yükseltgenme basamağını iki yerde kullanırız: geçiş metallerinin anorganik bileşiklerini adlandırırken ve redoks tepkimelerini denkleştirirken. İsimlendirme veyahut nomenklatur kurallara tabi olsa dahi, kurallarının keyfiliğinden ötürü mantıkla sorgulanamaz. ICN'e ben siyanojen iyodür derim siz de iyot siyanür dersiniz. Bana göre ben doğruyumdur, size göre de siz. Öte yandan redoks tepkimelerinin denkleştirilmesine gelince bu denli rahat olamayız. Zira daha önce bu blogda da izah ettiğimiz üzere redoks tepkimeleri ve genel olarak bütün kimyasal tepkimeler fizik yasalarına ve bu fizik yasalarının dikte ettiği lineer denklemlere tabidir. İşte bu yüzden yükseltgenme basamağı gibi soyu sopu sorunlu mefhumları mantıksal hijyene özen gösterilen cebir gibi bir sahaya iyice sorgulamadan dahil etmek kabul edilemez.

Bu postada yükseltgenme basamaklarını yarı redoks tepkimelerini kullanarak tanımlayacağız. Bu yaklaşım, genel kimya kitaplarında izlenen yolun tam tersidir. Her ne kadar sadece cebirin imkanları kullanılarak yarı redoks tepkimeleri denkleştirilebilir olsa da, biz kolay bir algoritmaya burada yer verecek ve algoritmamızı fosforik asitteki fosforun yükseltgenme basamağı üzerinde örnekleyeceğiz.

1. Verilen bir bileşikteki bir elementin yükseltgenme basamağı tayin edilirken, ilgili bileşiğin elementin doğada yaygın bulunan formundan oluştuğu kabul edilir. Bu form halojenler, oksijen ve azot için X₂, fosfor için P₄, metaller içinse genellikle metalik kristal halidir. Okur, elementlerin doğada yaygınca bulunan hallerini genel kimya kültüründen kanıksamış olmalıdır. Üzerinde çalıştığımız örnek bu basamakta şu halde olur: \begin{equation*} {\rm P_{4}(k) \ \to \ H_{3}PO_{4}(aq) } \end{equation*}
2. İlgili yarı redoks tepkimesinde kilit element genelde denkleşmiş haldedir ama halojenler veya fosfor gibi elementler için öncelikle kilit elementten 1 adet olacak şekilde tepkimedeki katsayılar ayarlanır. \begin{equation*} {\rm \tfrac{1}{4} P_{4}(k) \ \to \ H_{3}PO_{4}(aq) } \end{equation*}
3. Yarı tepkimenin oksijence fakir tarafına, her iki tarafta da aynı sayıda oksijen olacak şekilde H₂O eklenir. \begin{equation*} {\rm \tfrac{1}{4} P_{4}(k) \ + \ 4 H_{2}O(s) \ \to \ H_{3}PO_{4}(aq) } \end{equation*}
4. Yarı tepkimenin hidrojence fakir tarafına, her iki tarafta da aynı sayıda hidrojen olacak şekilde H⁺ eklenir. \begin{equation*} {\rm \tfrac{1}{4} P_{4}(k) \ + \ 4 H_{2}O(s) \ \to \ H_{3}PO_{4}(aq) \ + \ 5 H^{+}(aq)} \end{equation*}
5. Nihayet yarı tepkimedeki yük denkliğini sağlayacak şekilde nisbeten pozitif tarafa gerektiği kadar elektron eklenir. Bu aşamada yarı tepkimeniz kütle ve yük dengesini sağlayan, hatasız bir formda olmalıdır. \begin{equation*} {\rm \tfrac{1}{4} P_{4}(k) \ + \ 4 H_{2}O(s) \ \to \ H_{3}PO_{4}(aq) \ + \ 5 H^{+}(aq) \ + \ 5 e^{-}} \end{equation*}

Tanım: Yukarıdaki algoritma takip edilerek denkleştirilen yarı reaksiyonda tebarüz eden elektron sayısına, ilgili elementin söz konusu bileşikteki yükseltgenme basamağı denir. Elektronlar yarı reaksiyonun sağ tarafında ise element yükseltgenmiştir ve yükseltgenme basamağı da pozitif işaretlidir. Elektronların yarı reaksiyonun sol tarafında yer alması halinde, element indirgenmiştir ve yükseltgenme basamağı negatiftir.

Bu tanım uyarınca fosforun, fosforik asitteki yükseltgenme basamağı +5 olmalıdır.

İşaret: Yukarıdaki algoritma uyarınca bir elementin doğada yaygınca bulunan elemental halinde yükseltgenme basamağı sıfırdır. (Basitçe Na(k) $\to$ Na(k) tepkimesinin her iki tarafında da sıfır elektron vardır.)

İşaret: Bazı reaksiyonlar bazik ortamda gerçekleşir. Böylesi durumlarda yarı reaksiyonları yukarıdaki algoritmayı takip ederek, önce asidik ortamda denkleştirir ve nihai tepkimedeki hidrojen katyonlarının sayısına denk hidroksit ilave ederiz. ${\rm H^{+}+OH^{-} = H_{2}O}$ yazdığımızda tepkime gerekli sadeleştirmelerden sonra bazik ortamda gerçekleşmiş olur. Fosforik asit örneği için bu işlemler aşağıdaki sırada yapılır. \begin{eqnarray} \nonumber && {\rm \tfrac{1}{4} P_{4}(k) \ + \ 4 H_{2}O(s) \ + \ 5OH^{-}(aq) \ \to \ H_{3}PO_{4}(aq) \ + \ 5 H^{+}(aq) \ + \ 5OH^{-}(aq) \ + \ 5 e^{-}} \\ \nonumber && {\rm \tfrac{1}{4} P_{4}(k) \ + \ 4 H_{2}O(s) \ + 5OH^{-}(aq) \ \to \ H_{3}PO_{4}(aq) \ + \ 5H_{2}O(s) \ + \ 5 e^{-}} \\ \nonumber && {\rm \tfrac{1}{4} P_{4}(k) \ + 5OH^{-}(aq) \ \to \ H_{3}PO_{4}(aq) \ + \ H_{2}O(s) \ + \ 5 e^{-}} \end{eqnarray}

Ödev: Okur hidrojen ve oksijenin bileşiklerindeki yükseltgenme basamaklarının tayini üzerinde beyin jimnatiği yapmalıdır. Örneğin fosforik asitteki hidrojen ve oksijenin yükseltgenme basamaklarını tayin etmek için yukarıdaki algoritma ve tanıma mantıksal hijyene özen gösteren bir biçimde ne gibi ilaveler yapılmalıdır? Bu soru önemli. Zira NaH bileşiğinde sodyumun yükseltgenme basamağı tayin edilirken yukarıdaki algoritma eğer olduğu gibi takip edilirse o zaman sodyumun yükseltgenme basamağının -1 olduğu sonucuna varırız.

Yaşasın, bir Putnam sorusu da ben çözdüm!

Kısaca Putnam namıyla maruf William Lowell Putnam Matematik Müsabakası ABD'de üniversite düzeyindeki öğrencilerin katıldığı bir matematik yarışması. Bu köklü organizasyon özellikle son yıllarda sorularının zorluğu yüzünden çoğu yarışmacının kalem oynatamamasıyla meşhur. Biz faniler eğer kendimizi mutlu hissetmek istersek ara sıra eski Putnamlar'a bakıp bir miktar teselli bulabiliriz. İşte aşağıda o çözülebilir ve benim polinomlarla ilgili olduğu için hoşuma giden bir soru var. Çözümümü de bu postada sizlerle paylaşmak istiyorum.

Soru: $n$ pozitif bir tamsayı, $P$ ise katsayıları gerçel bir polinom olsun. $x^{n} - (1/x^{n}) = P(x-(1/x)) \iff n \equiv 1 \ ({\rm mod} \ 2)$ olduğunu ispatlayınız.
Yirminci William Lowell Putnam Matematik Müsabakası, 21 Kasım 1959, Sabah Oturumu, Soru: 1

Çözüm: Öncelikle $x^{n} - (1/x^{n}) = P(x - (1/x))$ eşitliğinin geçerli olabilmesi için $P$ polimonunun derecesinin tam olarak $n$ olması gerektiğini gözleyelim. Böylece polinomun baş katsayısının da 1 olmak zorunda olduğu tebarüz eder. İspatta takip edeceğimiz strateji ilgili polinomu kurmak olacak. Söz konusu monik polinom en genel haliyle \begin{equation*} P(z) := z^{n} + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_{1}z + a_{0} \end{equation*} denklemiyle verilir ve problemin çözümü $a_{0},\ldots,a_{n-1}$ katsayılarının nasıl bulunacağına dair bir algoritma inşa etmekten veyahut böylesi bir algoritmanın bulunamayacağını göstermekten ibarettir.

İlkin $n$ yerine $2n$ koyalım. O zaman $P$ polinomunun önde giden teriminden binom teoremi uyarınca aşağıdaki ifadeler gelecektir. \begin{equation*} \left( x - \frac{1}{x}\right)^{2n} = x^{2n} - 2n x^{2n-2} + \cdots + \frac{1}{x^{2n}} \end{equation*} Farkındaysanız son terimin işareti ($+$) yanlış çıktı! Biz ($-$) olmasını tercih ederdik zira polinomda geri kalan terimlerin dereceleri $2n$'den küçük olduğu için başka bir terimde de $1/x^{2n}$ ifadesini üretip bu yanlış işareti $a_{k}$ katsayılarını seçerek düzeltmek imkansız. Bu yüzden $n$ çift ise teoremde bahsedilen polinomu kuramıyoruz.

$n$ tek olsun. $n=1$ için ilgili polinomun kolaylıkla $P_{1}(z)=z$ formunda kurulabildiğini gözleyiniz. Teoremin $P_{3},\ldots,P_{2n-1}$ için geçerli olduğunu ve bu polinomların mevcut olduklarını varsayalım. Şimdi, öncelikle binom teoremi ve ardından yeniden gruplamayla aşağıdaki manupulasyonları gerçekleştireceğiz. \begin{eqnarray} \nonumber \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2n+1} &=& \sum_{j=0}^{2n+1} {2n+1 \choose j} (-1)^{j}x^{2n+1-2j} \\ \nonumber &=& x^{2n+1} - \frac{1}{x^{2n+1}} + \sum_{j=1}^{2n} {2n+1 \choose j} (-1)^{j}x^{2n+1-2j} \\ \nonumber &=& x^{2n+1} - \frac{1}{x^{2n+1}} + \sum_{j=1}^{n} {2n+1 \choose j} (-1)^{j} \left( x^{2(n-j)+1} - \frac{1}{x^{2(n-j)+1}}\right) \end{eqnarray} $\zeta := x - x^{-1}$ tanımlarsak, o zaman yukarıdaki ifade \begin{equation*} x^{2n+1} - \frac{1}{x^{2n+1}} = \zeta^{2n+1} - \sum_{j=1}^{n} {2n+1 \choose j} (-1)^{j} P_{2(n-j)+1} (\zeta) =: P_{2n+1}(\zeta) \end{equation*} şeklinde yeniden düzenlenir ve tümevarım uyarınca ispat tamamlanmış olur. QED

Uygulama: Daha önceden de not ettiğimiz üzere $P_{1}(z)=z$ olduğu barizdir. Yukarıda kurduğumuz algoritma uyarınca \begin{equation*} P_{3}(z) = z^{3} - \sum_{j=1}^{1} {3 \choose j} (-1)^{j} P_{2(1-j)+1}(z) = z^{3} + 3 P_{1}(z) = z^{3} + 3z \end{equation*} olur. Dizideki bir sonraki polinom ise ispatta türettiğimiz formülde $n=2$ koymakla elde edilebilir. \begin{equation*} P_{5}(z) = z^{5} - \sum_{j=1}^{2} {5 \choose j} (-1)^{j}P_{2(2-j)+1}(z) = z^{5} + 5P_{3}(z) - 10P_{1}(z) = z^{5} + 5z^{3} + 5z \end{equation*}

Sabun yediğinizde ağzınıza hangi tatlar gelir?

MESULİYET REDDİ VE İKAZ
Bu postada sabun yenilmesi hiç bir surette telkin ve teşvik edilmemektedir.
Sabun yemek insan sağlığı üzerinde geçici veyahut daimi tahribat yapabilir.
Posta yazarı (MD) sabun yenilmesi ve yutulmasından kaynaklanan sağlık sorunlarından mesul tutulamaz.

Cevap: Sırasıyla önce tuzlu, sonra acı ve nihayet tereyağına benzer tatlar gelir.
Neden? Sabun uzun zincirli yağ asitlerinin sodyum tuzudur. Ağzınıza bir parça sabun attığınızda öncelikle tuzlu daha sonra da acı bir tat alırsınız ve bu iki tat birbirini çok hızlı takip eder. Hatta kimi durumlarda eş zamanlı olarak da algılanabilirler. Tuz tadının sabunun ağzınızda çözünüp Na⁺ katyonlarının emilimiyle olduğu barizdir. Sodyum kolayca emilir veya yutulur. Dolayısıyla tuz tadı kalıcı olmaz. Acılık ise -baharatların acılığıyla karıştırılmasın- zayıf asitlerin konjuge bazlarının sudaki tipik çözeltilerinin bir özelliği. Sonuçta herkesin de bildiği üzere sabun bazik bir malzeme. Buraya kadar her şey sezgisel olarak bariz ama sabunu bir iki dakika dilinizle damağınız arasında beleyerek beklettiğinizde, tuzluluk ve baz acılığı kaybolur. Zira sodyum emilir, tükrüğün tamponlayıcı etkisi ise ağız pH değerini tekrar normale çevirir. Geriye kalan şey ise katı, uzun hidrokarbon zincirlerinden oluşmuş yağ asitleridir. Bu kitle ise ağzınıza margarin/tereyağı benzeri bir tat vermeye başlar. Bu tat sonradan ortaya çıkar ve sabunu ağzınızda beklettiğiniz sürece kalıcıdır.