6 Mart 2013 Çarşamba

Yanlış nerede?

Hepimiz vektör çarpımını (cross product) ve dönme işlemcilerini (rotation operations) üniversite birinci sınıftan beri elektromanyetik veya açısal momentum derslerinden biliyoruz. Klasik mekanikte katı cisimleri çalışanlar ise bu işe daha bir vukufiyet kazanmışlardır. Klasik mekanikte açısal momentum sadece laboratuvar koordinatlarında (space fixed coordinates) korunur. Öte yandan eylemsizlik moment tensörü (moment of inertia tensor) ise dönen koordinatlarda (body fixed coordinates) bir kere hesaplandımı katı cisimler için artık sabittir. Dolayısıyla bu iki koordinat sistemi arasında kaldığımızda, işin aslına bakılırsa her ikisi de bizim için avantajlıdır ve birini ötekine tercih edemeyiz. O zaman bunlar arasındaki dönüşüm \(R\) altında vektörlerin nasıl davrandığını bilmemiz gerektiği barizdir.

Şimdi \(\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{3}\) ve \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{3}\) iki vektör, \(R \in \mathbb{R}^{3\times 3}\) ise uygun bir dönme matrisi olsun. Yani \(\det R = 1\) ve \(R^{T}R=I\). Burada \(R^{T}\), \(R\) matrisinin transpozesini, \(I\) ise üç boyutlu birim matrisi temsil etmektedirler. Bu ön tanımları hallettikten sonra artık sorunumuza başlayabiliriz. Dönen koordinatlarda yapılan bir vektörel çarpım, bu vektörlerin laboratuvar koordinatlarındaki çarpımlarıyla nasıl bağdaştırılabilir? Matematiksel ifadesiyle \( R ( \mathbf{a} \times \mathbf{b}) \) çarpımını \(R\mathbf{a}\) ve \(R\mathbf{b}\) cinsinden nasıl ifade edebiliriz?

Kolay! \(R\) normal bir matris olduğunundan spektral teoremi uygulayabilir ve onu özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edebiliriz. \(R\) matrisinin özdeğer denklemi \( R \mathbf{e}_{i} = \lambda _{i} \mathbf{e}_{i}\) ile veriliyorsa, o zaman bu matrisin sepktral bozunumu (sepctral decomposition) aşağıdaki gibidir. \begin{equation} R = \lambda_{1} \mathbf{e}_{1} \mathbf{e}_{1}^{\dagger} + \lambda_{2} \mathbf{e}_{2} \mathbf{e}_{2}^{\dagger} + \lambda_{3} \mathbf{e}_{3} \mathbf{e}_{3}^{\dagger} \end{equation} Vektörlerin tepesindeki hançer (dagger) işareti onların hermitik eşleniğinin alındığını ifade ediyor. Genelliği kaybetmeden birbirlerine dik \(\mathbf{e}_{i}\) vektörlerinin sağ el kuralına uyan bir koordinat sistemi oluşturduğunu varsayalım. O zaman $\mathbf{e}_{i} \times \mathbf{e}_{j} = \epsilon_{ijk}\mathbf{e}_{k}$ olacaktır. Burada \(\epsilon_{ijk}\) tamamen antisimetrik Levi Civita sembolüdür. Çalıştığımız vektörlerin bu koordinatlardaki ifadesini de rahatlıkla Dirac notasyonunu yazabiliriz. \begin{equation} \mathbf{a} = \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{a} \rangle \mathbf{e}_{1} + \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{a} \rangle \mathbf{e}_{2} + \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{a} \rangle \mathbf{e}_{3} \end{equation} ve \begin{equation} \mathbf{b} = \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{b} \rangle \mathbf{e}_{1} + \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{b} \rangle \mathbf{e}_{2} + \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{b} \rangle \mathbf{e}_{3}. \end{equation} Şimdi özdeğer denklemini kullanarak \(R \mathbf{a}\) ve \(R \mathbf{b}\) vektörlerini ifade edebiliriz. \begin{equation} R \mathbf{a} = \lambda_{1} \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{a} \rangle \mathbf{e}_{1} + \lambda_{2} \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{a} \rangle \mathbf{e}_{2} + \lambda_{3} \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{a} \rangle \mathbf{e}_{3} \end{equation} ve \begin{equation} R \mathbf{b} = \lambda_{1} \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{b} \rangle \mathbf{e}_{1} + \lambda_{2} \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{b} \rangle \mathbf{e}_{2} + \lambda_{3} \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{b} \rangle \mathbf{e}_{3}. \end{equation} \(R\) matrisinin özvektörlerinin sağ el kuralına uyan dik bir koordinat sistemi oluşturduğu bilgisini kullanarak aşağıdaki sonucu elde ediyoruz. \begin{equation} (R\mathbf{a}) \times (R\mathbf{b}) = \lambda_{2} \lambda_{3} \left( \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{b} \rangle -\langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{b} \rangle \right) \mathbf{e}_{1} + \lambda_{1} \lambda_{3} \left( \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{b} \rangle -\langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{b} \rangle \right) \mathbf{e}_{2} + \lambda_{1} \lambda_{2} \left( \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{b} \rangle -\langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{b} \rangle \right) \mathbf{e}_{3} \end{equation} Ama \( \det R = \lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} = 1 \) olduğundan yukarıdaki denklemde \( \lambda_{1}\lambda_{2}=1/\lambda_{3}\) vb ilişkileri kullanabiliriz. O zaman \begin{equation} (R\mathbf{a}) \times (R\mathbf{b}) = \frac{1}{\lambda_{1}} \left( \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{b} \rangle -\langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{b} \rangle \right) \mathbf{e}_{1} + \frac{1}{\lambda_{2}} \left( \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{b} \rangle -\langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{3} | \mathbf{b} \rangle \right) \mathbf{e}_{2} + \frac{1}{\lambda_{3}} \left( \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{b} \rangle -\langle \mathbf{e}_{2} | \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{e}_{1} | \mathbf{b} \rangle \right) \mathbf{e}_{3} \end{equation} yazılabilir. Ama lineer cebirden biliyoruz ki, \(A\) özdeğerleri \(\lambda_{i}\) olan bir matrisse, o zaman \(A^{-1}\) matrisinin özdeğerleri \(\lambda_{i}^{-1}\) ile verilir ve her ikisi de aynı özvektörleri paylaşırlar. Dolayısıyla yukarıdaki denklemde \( (1/\lambda_{1}) \mathbf{e}_{1} = R^{-1} \mathbf{e}_{1}\) yazabiliriz. Ama \( R \) bir dönme matrisi olduğundan, \(R^{-1} = R^{T}\) ilişkisi geçerlidir. Kısaca ifade etmek gerekirse efektif olarak aşağıdaki denklemi ispatlamış oluyoruz. \begin{equation} (R\mathbf{a}) \times (R\mathbf{b}) = R^{T} (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \end{equation}

Bu sonuç yanlıştır!

Alıştırmalar

  • Bu sonucun yanlış olduğunu bir karşı örnek bularak kanıtlayınız.
  • "İspat"ımızdaki yanlış nerededir?
  • Hiç yorum yok:

    Yorum Gönder