Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

10 Eylül 2015 Perşembe

Vektör çarpımı ve üçgen alanı arasındaki ilişki bazı işlemleri kolaylaştırır

35. UMO takım seçme sınavı 4. soru: ABC üçgeninin kenarları üzerinde PAB, QBC, RCA ve |AP||AB|=|BQ||BC|=|CR||CA|=k<12 olacak biçimde P, Q ve R noktaları alınıyor. G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi olduğuna göre S(PQG)S(PQR) oranını bulunuz.

Bu soruyu yıllar önce tuttuğum defterlerimden birisinin ortasında buldum. Muhtemelen Matematik Dünyası'nın eski sayılarından birisinden aldığım bir soru ve altında da kendi çözümüm vardı. Soruyu hazırlayanlar daha kısa ve kolay bir çözüm bulmuşlardır ama benim yaptığım çözüm vektör analizinden gidiyor. ABC üçgenini analitik düzleme yerleştirdiğimizde üç noktası için toplamda 6 tane sayıya ihtiyacımız var. Bu çok fazla, çünkü üçgenin toplamda sadece 3 tane serbestiyet derecesi var ve her üçgeni tarif etmek için en çok üç sayı yeterli. Şimdi genelliği kaybetmeden üçgenin tabanını x ekseninde, tepe noktasını ise y ekseninde konuçlandıralım. O zaman noktaların koordinatları A=(0,ξ), B=(η,0) ve C=(ζ,0) olur. Görüldüğü gibi üç sayı üçgeni tarif etmek için yeterlidir. Dahası ağırlık merkezinin koordinatlarını da kolayca hesaplayabiliriz. G=13(A+B+C) olduğundan G=(η+ζ3,ξ3) bulunur.

İkinci aşamada P, Q ve R noktalarının koordinatlarını bulmamız gerekiyor. P=(xP,yP) olsun. Üçgenlerin benzerliğinden xpη=k ya da xP=kη olur. Aynı şekilde ξypξ=k denkleminin çözümüyle yP=(1k)ξ olduğu ortaya çıkar. Q ve R noktaları için de aynı analizi tekrar edersek bu noktaların koordinatlarını da çıkarmış oluyoruz. P=(kη,(1k)ξ),   Q=((1k)η+kζ,0),   R=((1k)ζ,kξ). Vektörel çarpım ve alan arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Hatırlanacağı üzere S(PQR)=12|QP×QR| bize PQR üçgeninin alanını veriyordu.

QP:=PQ=((2k1)ηkζ,(1k)ξ)QR:=RQ=((12k)ζ(1k)η,kξ) Nihayet u×v=uxvyuyvx olduğunu hatırlarsak, o zaman S(PQR)=12ξ|ηζ|(3k23k+1) olduğunu gösteririz. Tamamen benzer yöntemlerle S(PQG)=12|GP×GQ|=12ξ|ζη|(k2k+13) olduğu da gösterilir. Bu ise aranılan oranın basitçe 1/3 olduğunu ispatlar. Alanların oranı k orantı sabitinden bağımsız çıkmıştır.

İlginçtir, PQR üçgeninin ağırlık merkezini hesaplamaya kalktığımızda g=13(P+Q+R)=(2/3,1/3) sonucuna ulaşıyoruz. Bu noktanın koordinatları da k orantı sabitinden bağımsızdır.

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder