Vüdumuza açık havada etki eden net basınç-kuvveti ne kadar?

Basınç kavramını ortaokuldan beri biliyoruz: Birim yüzeye etki eden dik kuvvet. Yüzeye etki eden kuvvet, eğer bu yüzeye dik değilse, o zaman kuvvetin yüzeye dik olan birim vektör doğrultusundaki bileşenini alıyoruz ve öyle hesaplıyoruz basıncı. Birim yüzey normaline $\mathbf{n}$, bu yüzeye etki eden kuvvete $\mathbf{F}$ ve yüzey alanına $\Delta S$ dersek, o zaman yüzeye etki eden basınç

$$\begin{equation} p := - \frac{\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}}{\Delta S} \end{equation}$$ formülü ile hesaplanılır. Eksi işareti var çünkü yüzeye etki eden dik kuvvetle, yüzey normali dediğimiz vektörler zıt yönlü. Bu formülü tersinden düşünmek de mümkün. Denge dış basıncının $p$ olduğu bir ortamda o yüzeye etki eden net kuvvet $$\begin{equation} \mathbf{F} = - p \mathbf{n} \Delta S \end{equation}$$ ile verilir.

Eğer yüzey düz değilse, mesela bir insan vücudu veya bir amib gibi eğik ise, o zaman bu eğik yüzeyin her bir noktasında yüzey normali farklı yöne bakacaktır. Mesela küre yüzeyinde, yüzey normali merkezden yüzey noktasına çizilen yarıçap vektörü ile aynı doğrultudadır. Böyle durumlarda söz konusu yüzeyi tıpkı kartograflar gibi küçük dörtgensel bölgelere böler, her bir dörtgensel bölgeye etki eden tipik vektörel kuvveti kestirir ve nihayet bu kuvvetlerin vektörel toplamını alarak katı cisime etki eden net kuvveti hesaplarız. 3 boyutlu katı cismin kapladığı noktasal kümeye $\Omega$, bu noktasal kümenin 2 boyutlu yüzeyine de $\partial \Omega$ diyelim. O zaman hesaplamaya çalıştığımız net kuvvet vektör analizinde çok iyi bilinen bir özellikle kolayca bir hacim integraline dönüştürülür.

$$\begin{equation} \mathbf{F}_{\rm net} = - \iint _{\partial \Omega} p \mathbf{n} {\rm d}S = -\iiint_{\Omega} \mathbf{\nabla} p {\rm d}V \label{bi} \end{equation}$$ Bu deklemin sağ tarafında yer alan hacim integralini $\Omega$ cismini küçük küplere bölüp, her küpün içerisinde $\mathbf{\nabla}p := (\partial p/\partial x ) {\mathbf i} + (\partial p/\partial y ){\mathbf j} + (\partial p/\partial z ){\mathbf k}$ vektörünün tipik bir değerini aldıktan ve küçük küplerin hacmiyle çarptıktan sonra toplayarak hesaplayabiliriz. $\mathbf{\nabla} p$ fonksiyonuna basıncın gradientı diyeceğiz. Gradient işlemisi, tanımlandığı şekliyle skaler alanlardan vektörel alanlar üreten bir işlemcidir.

Hidrostatik denge altında bazı varsayımlarda bulunabiliriz. Mesela atmosfer basıncının yaşadığımız ortamda sabit kaldığını söyleyebiliriz. O zaman $\mathbf{\nabla}p =0$ olur. Demek ki sabit gaz basıncı altında havada duran bir cisime (gaz basıncından dolayı) etki eden net kuvvet sıfırmış! Öte yandan basının yükseklikle değiştiği sıvı bir ortamda $p:=p(z)=-\rho g z$ olur. Burada $\rho$ sıvının sabit kaldığını varsaydığımız yoğunluğu, $g$ yerçekimi ivmesi ve $z < 0$ ise sıvı yüzeyine kıyasla bulunduğumuz derinliktir. Buradan $\mathbf{\nabla}p = -\rho g \mathbf{k}$ olması gerektiğini gözleyiniz. Ama basınç gradientı bir sabit çıktığından, hacim integralinin dışına alınabilir ve $\Omega$ bölgesinin hacim integrali de basitçe bu bölgenin hacmidir: $V_{\Omega}$. Toparladığımızda sıvı ortamda dengede bulunan bir cisime etki eden net kuvvet, Evreka! diyebiliriz,

$$\begin{equation} \mathbf{F}_{\rm net} = \rho g V_{\Omega} \mathbf{k} \end{equation}$$ ile verilir. Buna sıvıların kaldırma kuvveti diyoruz. Basınç gradientının olduğu her ortamda bir kaldırma kuvveti doğacağını gözleyiniz.

Gelelim yazının başlığındaki soruya. Açık hava basıncından dolayı vücudumuza ne kadar net kuvvet etki ediyor? Ayakta durduğumuzu varsayalım. O zaman ayak tabanlarımıza açık hava basıncı etki etmeyecektir. Ayak tabanlarımızın yüzeylerini $\partial \Omega_{1}$ ve vücut yüzeyimizin geri kalanını $\partial \Omega_{2}$ ile gösterirsek, o zaman vücudumuzun tamamı $\partial \Omega = \partial \Omega_{1} \cup \partial \Omega_{2}$ olur. Bariz ama yine de belirtelim $\partial \Omega_{1} \cap \Omega_{2} = \emptyset$. Bu durumda ($\ref{bi}$) nolu denklemde verilen yüzey integrali aşağıdaki gibi parçalanabilir.

$$\begin{equation} \mathbf{0} = - \iint _{\partial \Omega_{1}} p \mathbf{n} {\rm d}S - \iint _{\partial \Omega_{2}} p \mathbf{n} {\rm d}S \end{equation}$$ Bu integrallerden birisini hesaplamak çok kolay, ötekisi ise çok zor. $\partial \Omega_{1}$ yüzeyinin normali sabit ve $-\mathbf{k}$ olduğundan, basitçe $$\begin{equation} -p A \mathbf{k} = - \iint _{\partial \Omega_{2}} p \mathbf{n} {\rm d}S \end{equation}$$ yazabiliriz. Bu denklemin sağ tarafında yazının başlığında hesaplamayı istediğimiz kuvvet var. Sol tarafındaki $A$ ise iki ayak tabanımızın toplam alanını temsil ediyor.

Sayıları yerine koyalım. Ayak tabanımızı uzunluğu 30 cm genişliği ise 12 cm olan bir dikdörtgen olduğunu varsayalım. O zaman $A=2 \times 12 \times 30 = 720$ cm² = $7,2 \times 10^{-2}$ m² olur. Açık hava basıncının 1 bar yani 100000 Pa olduğu bir ortamda, vücudumuza açık hava basıncından ötürü etki eden net kuvvet demek ki yere doğru 7200 N kadar olacak. Kütlesi 72 kg olan bir insanın ağırlığının yere doğru yaklaşık 720 N olduğunu göz önüne alırsak, bu hiç de azımsanamayacak bir kuvvettir. Öte yandan her ne kadar basınç kuvveti etki etmese de, yeryüzününün ayak tabanlarımıza uyguladğı tepki kuvveti hem ağırlığımızdan hem de hava basıncından doğan kuvvetlerin toplamını nötrleştirmeye yeterlidir. Öyle olmasaydı, atmosfer bizi yerin dibine geçirirdi!

Hemen belirtelim ki burada yaptığımız ve çok aşırı derecede iddialı bir varsayım var. İnsan bedenini katı bir cisim gibi düşündük. Halbuki cildimizin ve organlarımızın esneklikleri, lokal olarak gerilebilmeleri vb nedenlerden ötürü bu yaptığımız hesaplamaya ciddi derecede hata gelebilir. Model gerçekliğin karikatürüdür. diyenlerin kastettiği şey bu olsa gerek.