Processing math: 100%

10 Mayıs 2017 Çarşamba

Kübik ve kuartik fiyakalı formül arayışı

Soru: (nm)a++(n1)a+na=(n+1)a++(n+m)a denkleminin a=3,4 için hiçbir n ve m pozitif tam sayılarıyla sağlanmadığını ispatlayınız.

a=3 için söz konusu denklem aşağıdaki gibi yeniden düzenlenebilir. n3=mk=1(n+k)3(nk)3=mk=1((n+k)(nk))((n+k)2+(n+k)(nk)+(nk)2)=mk=12k(3n2+k2)=6n2mk=1k+2mk=1k3=3m(m+1)n2+m2(m+1)22

Burada cebirde çok iyi bilinen iki küp farkını a3b3=(ab)(a2+ab+b2) ve mk=1k=m(m+1)/2 ile mk=1k3=m2(m+1)2/4 özdeşliklerini kullandık. Özellikle son iki özdeşliğin ispatını bilmiyorsanız mutlaka ispatlamaya çalışmalısınız. Bu ifadeyi yeniden düzenlediğimizde n için üçüncü m için dördüncü dereceden bir Diaphantos denklemi elde ediyoruz. n33m(m+1)n2m2(m+1)22=0
Bu denklemin hiç negatif kökü olmadığını nn koyarak kolayca görebilirsiniz. Descartes'in işaret kuralı uyarınca sadece bir tane pozitif kök olduğu da aşikardır. Dolayısıyla verilen bir m tam değerine tekabül eden n tam sayısı (eğer varsa) biriciktir.

n tam sayısı (eğer varsa) çift olmalıdır. Zira ardışık iki sayıdan bir tanesinin kesinlikle çift olması sebebiyle, m(m+1)=:2X yazabiliriz. O zaman m2(m+1)22=2X2 olur. Dolayısıyla çalıştığımız denklem n36Xn22X2=0 formunda da ifade edilebilir. Bu ifadede ikinci ve üçüncü terimler çift olduklarından, ilk terim de çift olur.

Genelliği kaybetmeden n=:2N ve daha önce olduğu üzere m(m+1)=2X yazalım. Böylesi bir dönüşümle çalıştığımız denklem X2+12N2X4N3=0

halini alır. X bilinmeyen olarak addedildiğinde ikinci dereceden cebirsel denklemler için geçerli çözüm aşağıdaki gibi olur. X=2N9N2+N6N2
X herşeyden önce bir tam sayı olduğu için diskriminanttan gelen köklü ifadenin de bir tam sayı olması gerekir. Ama bunun için gerekli ve yeterli şart 9N2+N=:M2 bir tam karenin varlığıdır. Şimdi bu denklemi yeniden düzenlediğimizde N=(M3N)(M+3N) olduğunu görüyoruz. Demek ki M+3N, N sayısının bir çarpanıymış. Ama M+3N>N olduğundan böylesi bir durum absurddür. O zaman hiçbir N değeri için X ya da m(m+1) ya da m tam sayı değeri alamazlar. Bu da a=3 için ispatı tamamlar.

Ödev

a=4 için de ispatı yukarıdaki basamakları taklit ederek kendiniz yapınız.


Sorunun hikayesi

Sosyal medyada sağdan soldan bulduğu şeyleri yeniden paylaşan popüler bir hesapta şöyle fiyakalı bir denklem gördüm: 362+372+382+392+402=412+422+432+442. Maksat fiyaka yapmak olduğundan denklemin altında yatan formül verilmemişti. Kendim daha sonra aynı denklemin meşhur 32+42=52 Pisagor üçlüsünün bir genelleştirilmesi olduğunu fark ettim ve başka eşitliklere de uzandım: 102+112+122=132+142 ve 212+222+232+242=252+262+272 gibi. Ardından bu formülün kübik ve kuartik versiyonlarını da aramaya başlayınca bu posta hasıl oldu.

Ödev

Yukarıdaki soruda a=2 durumunda çözümün n=2m(m+1) ile her zaman mümkün olduğunu gösteriniz.

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder