Döngüsel bir kimyasal reaksiyon şebekesinde, konsantrasyonlar da şebeke gibi her zaman periyodik olur mu?

Hayır, olmaz.

Bu postada başlıktaki soruya verdiğimiz olumsuz yanıtı bir karşı örnekle gerekçelendireceğiz. Biyokimyada, bazı moleküllerin farklı izomerlerinin birbirlerine dönüşme kinetiği, oyun şebekesi (play network) dediğimiz yandaki döngüsel sisteme benzer. Şebekede yer alan üç reaksiyonun hız sabitleri sırasıyla $\alpha,\beta,\gamma$ ile ilgili reaksiyon okunun üzerinde gösteriliyor. Kimyasal kinetiğin en temel varsayımından, kütle aksiyon kanunundan başlayarak bu şebekede gerçekleşen reaksiyonlarda yer alan maddelerin konsantrasyonları için üç adet hareket denklemi yazacağız. \begin{eqnarray} \nonumber &&\dot{a}(t) = -\alpha a(t) + \gamma c(t) \\ \nonumber &&\dot{b}(t) = \alpha a(t) - \beta b(t) \\ \nonumber &&\dot{c}(t) = \beta b(t) - \gamma c(t) \end{eqnarray} Burada mesela $a(t)$ ile A maddesinin zamana bağlı derişimini, $\dot{a}(t)$ ile bu derişimin zamana göre türevini temsil ediyoruz. Hız sabitlerinin pozitif, başlangıç konsantrasyonlarının pozitif veya sıfır olması haricinde bu problem için başka da talep ettiğimiz bir şart yok. Şimdi hız denklemlerini taraf tarafa toplarsak $\dot{a} + \dot{b} + \dot{c} = 0$ elde ediyoruz. Dinamikte bir şeyin zamana göre türevi her zaman sıfırsa, bu, o niceliğin korunduğu anlamına gelir. Çalıştığımız problemde söz konusu olan basit bir toplam kütlenin korunumundan başka bir şey de değildir: \begin{equation*} a(t) + b(t) + c(t) = a(0) + b(0) + c(0) =: m \end{equation*} Dikkat edilirse kütle korunumunu kullanarak $c(t)$ maddesinin derişimi $a(t)$ ve $b(t)$ cinsinden yazılabilmektedir: $c(t) = m - a(t) - b(t)$. Bu ilişkiyi ilk iki hareket denklemine koyarak, çalışılması gerekli diferansiyel denklem sayısını üçten ikiye düşürebiliriz. Böylesi bir indirgeme dinamik sistemlerde çok tipiktir. Her bağımsız korunum kanunuyla, diferansiyel denklem sisteminden bir denklem elenebilir. Hatta hareket denklemi kadar korunum kanunu varsa, o zaman diferansiyel denklemleri çözmeye bile gerek kalmaz!

Adet olduğu üzere, bu sistem için denge durumunu soruşturmakla işe başlayacağız. Dinamik bir sistemi oluşturan durum değişkenlerinin hepsinin zamana göre türevinin sıfır olduğu noktalara denge noktaları denir. Bu tanımı kullandığımızda $\dot{a} = \dot{b} = \dot{c} = 0$ denklemlerinin ortak çözümü, bize denge konsantrasyonlarını verecektir. Basit bir alıştırma ile bu denge konsantrasyonlarını hesaplayabiliriz. \begin{eqnarray} \nonumber a_{\rm d} &=& \frac{\beta \gamma}{\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma} m \\ \nonumber b_{\rm d} &=& \frac{\alpha \gamma}{\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma} m \\ \nonumber c_{\rm d} &=& \frac{\alpha \beta}{\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma} m \end{eqnarray} Şebekedeki bütün reaksiyonlar tek yönlü, tersinmez (irreversible) gibi görünüyor ama sistemde yer alan hiçbir maddenin denge konsantrasyonu sıfır değil! Bu genellikle kimyada görmeye alışık olmadığımız ve şebekenin döngüselliğinin temin ettiği bir durum. Ayrıca bu örnekten ilham alarak tersinirlik kavramını biraz daha genişletiyor ve aşağıdaki tanımı yapıyoruz.

Tanım: (Tersinirlik ve zayıf tersinirlik) Bir kimyasal reaksiyon şebekesinde yer alan bütün tepkimeler tersinir (reversible) ise, o zaman o şebekeye tersinir şebeke denir. Bir kimyasal reaksiyon şebekesinde yer alan reaksiyon oklarının her iki tarafında yer alan reaktant ve ürünlere topluca kompleks denir. Bir kimyasal reaksiyon şebekesinde yer alan herhangi bir ${\mathcal C}_{1} \to {\mathcal C}_{2}$ reaksiyonu için, ${\mathcal C}_{2}$ kompleksi ile başlayıp ${\mathcal C}_{1}$ kompleksi ile biten bir yol (yani reaksiyon zinciri) bulunabiliyorsa, o zaman o şebekeye zayıf tersinir şebeke (weakly reversible) denir.

Bütün tersinir şebekelerin aynı zamanda zayıf tersinir olduğu çok barizdir. Burada çalıştığımız oyun şebekesi tersinir değil. Çünkü, örneğin ${\rm A} \to {\rm B}$ reaksiyonu var ama ${\rm B} \to {\rm A}$ yok. Öte yandan ${\rm B} \to {\rm C} \to {\rm A}$ kanalıyla B maddesinden A maddesine ulaşmak mümkün olduğundan çalıştığımız oyun şebekesi zayıf tersinirdir.

Şebekenin dinamiğini çözmeden önce birimsiz niceliklere geçeceğiz. $t =: \tau/\alpha$, $A := a/m$, $B := b/m$, $C :=c/m$, $g := \gamma/\alpha$ ve $h := \beta/\alpha$ tanımlayalım. $A+B+C=1$ olduğunu gözleyiniz. Dahası kütlenin korunumu gereğince $C = 1 - A - B$ yazabiliriz. Bu, $\dot{c}$ için yazılan diferansiyel denklemi fuzuli (redundant) kılar. İndirgenmiş birimlerde çalışmamız gereken dinamik sistem aşağıdaki gibidir. \begin{eqnarray} \nonumber A^{\prime}(\tau) &=& -(1+g)A(\tau) - gB(\tau) + g \ \ \ (1) \\ \nonumber B^{\prime}(\tau) &=& A(\tau) - h B(\tau) \ \ \ (2) \end{eqnarray} $\tau$ değişkenine göre türevi $\prime$ ile temsil ettik. Şimdi (1) nolu denklemin bir daha ($\tau$ değişkenine göre) türevini alır ve (2) nolu denklemi de kullanırsak, aşağıdaki ara sonucu elde ediyoruz. \begin{equation*} A^{\prime \prime}(\tau) = -(1+g)A^{\prime}(\tau) - gA(\tau) + ghB(\tau) \ \ \ (3) \end{equation*} Amacımız sadece $A$ değişkenine bağlı bir adi diferansiyel denklem elde etmek. Bu yüzden (1) nolu denklemden $B(\tau)$ ifadesini çekip, (3) nolu denklemde kullanınca çalışmamız gereken denklem aşağıdaki forma girmektedir. \begin{equation*} A^{\prime\prime}(\tau) + (1+g+h)A^{\prime}(\tau) + (g+h+gh)A(\tau) = gh \ \ \ (4) \end{equation*} Bu denklemin sadece $A$ değişkenine bağlı olduğunu gözleyiniz. Sistemin toplamda $g$ ve $h$ olmak üzere iki adet parametresi vardır.

(4) nolu denklem ikinci dereceden, sabit katsayılı, homojen olmayan, lineer bir adi diferansiyel denklemdir ve adi diferansiyel denklemlerin teorisinde çözüm yöntemi vardır. İlkin tekabül eden karakteristik denklemi çözeceğiz. \begin{equation*} \lambda^{2} + (1+g+h)\lambda + (g+h+gh) = 0 \ \ \ (5) \end{equation*} İkinci dereceden denklemin diskriminantı aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} \Delta := (1+g+h)^{2}-4(g+h+gh) = (g-h)^{2} - 2(g+h) + 1 \end{equation*} Bu diskriminant hem pozitif hem de negatif olabilir. Örneğin $g=h=1$ için $\Delta = -1$ ama $g=5$, $h=1$ için $\Delta = 5$ olmaktadır. Karakteristik değerler aşağıdaki gibi verilir. \begin{equation*} \lambda_{1,2} :=\frac{-(1+g+h)\pm\sqrt{\Delta}}{2} \ \ \ (6) \end{equation*} Viete-Girard formüllerinden $\lambda_{1}+\lambda_{2} < 0$ ve $\lambda_{1}\lambda_{2} > 0$ olduğundan, her durumda köklerin gerçel kısımları negatiftir.

$A_{\rm p} := gh/(g+h+gh)$ ifadesinin (4) nolu denklemi sağladığını gözleyiniz. (Basitçe yerine koymanız yeterlidir.) İndirgenmiş birimlerde A malzemesinin denge konsantrasyonunu da veren bu ifadeye kısmi çözüm diyeceğiz. Kısmi çözüm aynı zamanda $A_{\rm p} = a_{\rm d}/m$ denklemini de sağladığından, aslında indirgenmiş birimlerde A maddesinin denge konsantrasyonudur. Artık aradığımız çözümü nihayet verebiliriz. \begin{equation*} A(\tau) = A_{\rm p} + c_{1}e^{\lambda_{1}\tau} + c_{2}e^{\lambda_{2}\tau} \ \ \ (6a) \end{equation*} $c_{1,2}$ katsayıları başlangıç şartlarından temin edilmelidirler. $\tau=0$ koyduğumuzda \begin{equation*} c_{1}+c_{2} = A(0)-A_{\rm p} \ \ \ (7) \end{equation*} denklemini elde ediyoruz. İkinci bir denkleme daha ihtiyacımız var. Bu amaçla (1) nolu denklemde de $\tau=0$ koyacağız. \begin{equation*} \lambda_{1}c_{1} + \lambda_{2}c_{2} = -(1+g)A(0) - gB(0) + g \ \ \ (8) \end{equation*} (7) ve (8) nolu denklemler beraber çözüldüklerinde aşağıdaki sonuçları elde ediyoruz. \begin{eqnarray}\nonumber c_{1} &=& \frac{-\lambda_{2}(A(0)-A_{\rm p})-(1+g)A(0)-gB(0)+g}{\sqrt{\Delta}} \ \ \ (9) \\ \nonumber c_{2} &=& \frac{\lambda_{1}(A(0)-A_{\rm p})+(1+g)A(0)+gB(0)-g}{\sqrt{\Delta}} \ \ \ (10) \end{eqnarray}

Durum I. $\Delta > 0$ için (6a) nolu denklemi kullanarak $\lim_{\tau \to \infty} = A_{\rm p}$ olduğunu gösterebiliriz. Dahası yine aynı denklemin türevini aldıktan sonra $\lim_{\tau \to \infty}A^{\prime}(\tau) = 0$ olduğunu da gösterebiliriz. Bu bize (1) nolu denklem kanalıyla $\lim_{\tau \to \infty}B(\tau) = g/(g+h+gh)$ sonucunu verir. İndirgenmiş birimlerde bu, B maddesinin denge konsantrasyonundan başka bir şey değildir. Kütle korunumu ile C maddesinin de $\tau \to \infty$ limitinde, dengeye geldiği gösterilir. Sistemin dengeye varma süresi, indirgenmiş birimlerde $|\lambda_{2}|^{-1}$ ile kestirilebilir. (Neden $|\lambda_{1}|^{-1}$ değil?) Birimli niceliklerde bu değer $T \sim (2/\alpha) / (1+g+h-\sqrt{\Delta})$ kadardır.

Durum II. $\Delta = 0$ için $\lambda_{1} = \lambda_{2} =: \Lambda = -(1+g+h)/2$ olacaktır. Bu durumda çözümü \begin{equation*} A(\tau) = A_{\rm p} + d_{1}e^{\Lambda \tau} + d_{2}\tau e^{\Lambda \tau} \ \ \ (11) \end{equation*} şeklinde ifade etmeliyiz. ((11) nolu denklemi (4) nolu denkleme koyarak bu çözümün doğruluğunu gösteriniz.) Burada $d_{1}$ ve $d_{2}$ başlangıç şartlarından tayin edilmelidirler. Basit bir alıştırmayla bu katsayıları çözebiliriz. \begin{eqnarray}\nonumber d_{1} &=& A(0) - A_{\rm p} \\ \nonumber d_{2} &=& -\Lambda (A(0)-A_{\rm p}) - (1+g)A(0) - gB(0) + g \end{eqnarray} $\Lambda < 0$ olduğundan bu sistem de üstel hızda dengeye varır ve dengeye varma zamanı birimli niceliklerde $T \sim (2/\alpha)/(1+g+h)$ ile kestirilebilir.

Durum III. $\Delta < 0$ için özdeğerlerin gerçel olmadığını gözleyiniz. Bu durumu çalışmak için öncelikle $\delta := \sqrt{|\Delta|}$ tanımıyla işe başlıyoruz. O zaman özdeğerler $\lambda_{1,2} = \Lambda \pm \tfrac{i\delta}{2}$ ile verilecektir. Burada $\Lambda$ bir önceki paragrafta tanımlandığı gibidir. Bu tanımlarla ve trigonometrik fonksiyonların ($2i\sin(\theta) = e^{i\theta}-e^{-i\theta}$ ve $2\cos(\theta) = e^{i\theta}+e^{-i\theta}$ gibi) bazı özelliklerini kullanarak A maddesinin konsantrasyonu aşağıdaki gibi verilir. \begin{equation*} A(\tau) = A_{\rm p} + e^{\Lambda \tau}(A(0)-A_{\rm p}) \cos\left( \frac{\delta \tau}{2} \right) - e^{\Lambda \tau}\frac{2}{\delta}\left((1+g)A(0)+gB(0)-g+\Lambda(A(0)-A_{\rm p})\right) \sin\left( \frac{\delta \tau}{2} \right) \end{equation*} Yukarıdaki denklem bazı tanımlarla sadeleştirilebilir. \begin{eqnarray} \nonumber &&D:=\sqrt{(A(0)-A_{\rm p})^{2}+\frac{4}{\delta^{2}}\left((1+g)A(0)+gB(0)-g+\Lambda(A(0)-A_{\rm p})\right)^{2}} \\ \nonumber &&\cos \varphi :=\frac{A(0)-A_{\rm p}}{D} \\ \nonumber &&\sin \varphi := \frac{2}{\delta}\frac{(1+g)A(0)+gB(0)-g+\Lambda(A(0)-A_{\rm p})}{D} \end{eqnarray} Nihayet $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ özdeşliğini kullandığımızda A malzemesinin konsantrasyonunu daha sade bir formda sunabiliyoruz. \begin{equation*} A(\tau) = A_{\rm p} + De^{\Lambda \tau} \cos \left( \frac{\delta \tau}{2}+\varphi \right) \ \ \ (12) \end{equation*}

İşaret. $\Lambda < 0$ olduğundan, burada da $\lim_{\tau \to \infty}A(\tau)=A_{\rm p}$ olur, yani tepkime dengeye üstel hızda gelir. Ama (12) nolu denklem şimdiye kadar hiç karşılaşmadığımız bir davranışa, salınımlara (oscillations) sahiptir. Biyokimyada ve kimya mühendisliğinde salınım yapan tepkimeler önemli bir yer tutar. Ne yazık ki üstel terimin hızla sıfıra gitmesinden ötürü, oyun şebekesinde salınımları uzun süre gözlemek mümkün değildir. Bu meyanda Deficiency-0 teoreminin pek çok kimyasal sistemde salınımları gözlemenin imkansız olduğunu söylediğini kaydedelim.

İşaret. Birimsiz niceliklerde tepkime zamanı $|\Lambda|^{-1}=2/(1+g+h)$ ile kestirilebilir. Öte yandan salınımların periyotu tam olarak \begin{equation*} \frac{4\pi}{\delta} = \frac{4\pi}{\sqrt{ 2(g+h) - (g-h)^{2} - 1}} \end{equation*} kadardır. En az bir tam salınım gözlemek için $|\Lambda|^{-1} \ge 4\pi \delta^{-1}$ şartını kullanmamız gerekiyor. Bu şart aşağıdaki eşitsizliği gerektirmektedir. \begin{equation*} 2(1-4\pi^{2})(g+h+gh) - (1+4\pi^{2})(g^{2}+h^{2}) \ge 4\pi^{2} - 1 \end{equation*} Ne var ki bu eşitsizlik absurddur. Zira negatif bir niceliğin pozitif bir nicelikten büyük olduğunu söyler. Diğer bir ifadeyle oyun şebekesinde bir tam salınım dahi gözlenmeden şebeke dengeye gelir.

Kuantum Mekaniğinin Adyabatik Teoremi Üzerine - Tosio Kato (makale tercümesi)

Sunum

Güneş ile sistemimizdeki en büyük gezegen olan Jüpiter'in kütleleri arasındaki oran yaklaşık olarak 10³. Aynı şekilde proton ile elektron arasındaki kütle oranı da yine 10³ mertebesinde. Böyle olunca sistemi oluşturan ağır cisim (güneş ya da atom çekirdeği) ile hafif cismin (gezegen ya da elektron) hareketlerinin zaman skalası birbirlerinden ayrılır. Örneğin bir moleküldeki elektronların hareketi tipik olarak attosaniye (10^-18 s) kadar sürerken, atom çekirdeklerinin hareketi femtosaniye (10^-15 s) kadar sürer. Literatürde yaygın olarak bilinen adıyla Born-Oppenheimer kestirmesi (ya da adyabatik kestirme) işte zaman skalasındaki bu ayrışmayı kullanarak yavaş cisimleri sanki duruyorlarmış gibi ele alır ve onların konumlarının sabit tutulmasıyla oluşan alanda hızlı cisimlerin hareketini irdeler.

Benzer bir kestirme açık mekanik sistemler için de geçerlidir. Uzunluğu $l$ olan tavana asılı bir sarkacın $g$ çekim ivmesi altındaki periyotunun $\sqrt{l/g}$ ile orantılı olduğunu hepimiz biliyoruz. Eğer, bir mekanizma ile bu sarkacın uzunluğu çok yavaş bir biçimde değiştirilseydi, o zaman sarkacın periyotunun yine $\sqrt{l(t)/g}$ ile orantılı bir biçimde tezahür etmesini bekleriz. Bu yaklaşık olarak doğru beklentiye mekanikteki adyabatik teoremin bir örneğidir. Hem klasik hem de kuantum mekaniğinde varyantları olan bu teoremin, kuantum mekaniği çerçevesindeki ilk ispatını her ne kadar Born ve Fock vermiş olsa da, daha genel ve matematiksel olarak daha doyurucu ispatı, matematiksel fizik sahasındaki çalışmalarıyla tanınan Japon matematikçi Tosio Kato (25.08.1917-02.10.1999) yapmıştır.

Aşağıda Kato'nun adyabatik teoremi ispatladığı 1950 tarihli makalesinin Türkçe tercümesi yer alıyor. Okurdan bir derece kuantum mekaniği formalizmine aşinalık ve matematiksel (özellikle de gerçel analize ait) argümanları takip edebilecek bir olgunluk bekleyen bu önemli çalışmanın tercümesindeki tüm kusurlar bendenize aittir.

Yaşasaydı, bu sene 25 Ağustos'ta Kato'nun 100. doğum yıl dönümü kutlanacaktı. Ruhu şad olsun!

Mustafa Demirplak, 6 Temmuz 2017, Büyükçekmece

---

Kuantum Mekaniğinin Adyabatik Teoremi Üzerine

Tosio Kato

Tokyo Üniversitesi, Fizik Bölümü
(27 Nisan 1948'de postadan alınmış, 17 Mart 1950'de baskıya hazır hale gelmiştir.)

§1. Giriş.

Bir sistemin Hamilton işlemcisi $H(t)$ zamana bağlı ise, o zaman ilgili Schrödinger'in hareket denkleminin genellikle durgun çözümü yoktur. Söz konusu denklem, Planck sabitinin $h=2\pi$ olduğu birimlerde aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} \frac{d\psi (t)}{d t} = -i H(t) \psi (t) \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation*} Ancak, $H(t)$ işlemcisindeki değişimin sonsuz derecede yavaş gerçekleştiği limitte, harekete $H(0)$ işlemcisinin durgun bir durumundan başlanması halinde, sistem, tüm $t$ değerleri için, $H(t)$ işlemcisinin tekabül eden durgun durumlarından geçerek hareketine devam eder. İşte kuantum mekaniğindeki adyabatik teoremin iddiası budur.

Şimdiye kadar adyabatik teoremin dört başı mamur denilebilecek bir ispatı Born ve Fock [1] tarafından verilmiştir. (Bu çalışmaya bundan sonra BF harfleri ile atıfta bulunacağız.) Adı geçen yazarların ispatı özdeğerlerin kesiştiği durumu kapsayacak kadar genel olsa da, söz konusu ispat diğer yönlerden iki temel varsayımla kısıtlanmış durumdadır:
   (i) $H(t)$ işlemcisinin spektrumu tamamen kesikli özdeğerlerden oluşmaktadır ve
   (ii) kesişmenin neden olduğu kazara yozlaşma durumları hariç bu özdeğerler yozlaşmamıştır.
Yazarların sunduğu argüman esaslı bir tadilattan geçmeden daha genel durumlara uygulanamaz, zira onlar en genel durumda kesikli özfonksiyonların tam sistemine tekabül eden (1) nolu denklemin sonsuz sayıdaki çözümünü ele almaktadırlar ki genel durumda böyle bir tam sistem matematiksel olarak mevcut değildir.

Fiziksel açıdan bakınca (i) ve (ii) nolu varsayımlar epeyce yapay gözükmektedir, zira $H(t)$ işlemcisinin herhangi bir $\lambda (t)$ özdeğerine tekabül eden (1) nolu denklemin çözümünün, spektrumun $\lambda(t)$ özdeğerine uzak, kesikli veya sürekli kısımlarından etkileniyor olması kulağa makul gelmemektedir.

Mevcut çalışmada teoreme, söz konusu kısıtlayıcı varsayımlardan ari, yeni bir ispat getireceğiz. BF yönteminin aksine, $H(0)$ işlemcisinin, yozlaşmış olabilecek, belirli bir özfonksiyonundan başlayan (1) nolu denklemin bir çözümünü [2] ele alacağız ve odaklandığımız özdeğerin yakın komşuluğu hariç olmak üzere, $H(t)$ işlemcisinin spektrumuna ilişkin herhangi bir hipotez de ileri sürmeyeceğiz.

Bizim anlayışımıza göre adyabatik teoremin muhtevası iki kısma taksim edilebilir. Teorem ilkin adına adyabatik dönüşüm (kısaca AD) diyebileceğimiz, sistemin zahiri bir değişiminin matematiksel varlığını ifade etmektedir. İkinci olarak da, (1) nolu hareket denklemi tarafından tanımlanan dinamik dönüşümün (kısaca DD), $H(t)$ işlemcisindeki değişimin sonsuz derecede yavaş gerçekleştirildiği limitte AD'ye gittiğini iddia eder. Bahsi geçen dönüşümler hakiki veya zahiri mekanik değişimler olmaları hasebiyle, üniter işlemciler tarafından temsil edilir.

Buna göre konumuz iki kısma ayrılıyor. İlk önce AD'ye tekabül eden üniter işlemciyi bulmamız ve daha sonra (1) nolu denklem tarafından tanımlanan DD'nin asimptotik davranışını çalışmamız ve AD'ye eşitliğini ispatlamamız gerekiyor. (i) ve (ii) nolu varsayımların yapıldığı BF makalesinde ilk durumun son derece aşikar olduğu not edilmelidir. Zira AD'nin yapması gereken şey $H(0)$ işlemcisinin tüm özfonksiyonlarını $H(t)$ işlemcisinin tekabül eden özfonksiyonlarına dönüştürmek olduğundan, AD her özfonksiyon için bir faz faktörüne kadar zaten tayin edilmiştir. Bu sebebe binaen BF problemin sadece bir yarısını çözmüştür. Bizim genel durumumuzda sorun o kadar da basit değildir ve AD'nin kurulumu mevcut çalışmanın ana kısmını oluşturur.

Aşağıda yaptığımız ispat nispeten usulüne uygun olmakla beraber matematiksel bir açıdan bakıldığında kusursuz değildir. Elbette açıkça tanımlanmış varsayımlara dayanan ayrıntılı argümanlarla matematiksel ciddiyeti korumak mümkündür, lakin böyle bir üslup bizi gereksiz yere karmaşık bölgede çok ileri götürerek problemin özünü perdeler.

§2. Dinamik Dönüşüm.

(1) nolu hareket denklemini $0 \leq t \leq \tau$ aralığında ele alıp $H(t)$ işlemcisindeki toplam değişimin sonlu kaldığı durumlarda, çözümün $\tau \to \infty$ asimptotiğindeki davranışını soruşturacağız. Bu maksatla, BF'yi takip ederek, hesaplamalarımızı kolaylaştırması için $t=\tau s$ ile yeni bir birimsiz zaman değişkenini tanımlayalım. (1) nolu hareket denklemi bu değişken dönüşümüyle aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir. \begin{equation*} \frac{d\psi_{\tau} (s)}{d s} = -i \tau H(s) \psi_{\tau} (s) \ \ \ \ \ \ (2) \end{equation*} Hipotez uyarınca, $\tau \to \infty$ durumunda $dH(s)/ds$ türevinin sonlu kalacağı $H(s)$ işlemcileriyle çalışacağız. Bundan sonra çalışmamızı kolaylaştırmak amacıyla $H(s)$ işlemcisinin $\tau$ değerinden bağımsız olduğunu varsayacağız ama sunacağımız argümanın hiçbir değişiklik olmadan $H(s)$ işlemcisinin $\tau$ değerine bağlı olduğu durumlarda da geçerli olduğunu not ediniz.

$\lambda (s)$, $H(s)$ işlemicisinin çokkatlılığı $m \geq 1$ olan kesikli bir özdeğeri ve $E(s)$ de tekabül eden $m-$boyutlu özuzaya projeksiyon işlemcisi [3] olsun. $\lambda (s)$ ve $E(s)$ fonksiyonlarının $s$ değişkenine göre sürekli, $dE/ds$ ve $d^{2}E/ds^{2}$ türevlerinin ise parçalı sürekli olduklarını varsayacağız.

Burada $E(s)$ projeksiyonunu biricik olması hasebiyle benimsedik, zira tekabül eden özfonksiyonlar özellikle $m>1$ için biricik bir biçimde tayin edilemezler. Söz konusu özfonksiyonların verilmeleri halinde $E(s)$ projeksiyonunun kolayca hesaplanacağını not ediniz. Ayrıca, $\lambda (s)$ ve $E(s)$ değerleri $H(s)$ işlemcisinden artık kanıksanmış perturbasyon yöntemiyle elde edilebilir ve onların sürekliliği $H(s)$ işlemcisinin sürekliliğinin bir sonucudur.

Şimdi, tanım gereği \begin{equation*} ( H(s) - \lambda (s) I ) E(s) = 0 \ \ \ \ \ \ (3) \end{equation*} denklemi geçerlidir ve aşağıdaki özellikleri sağlayan bir $S(s)$ işlemcisi [4] vardır. \begin{eqnarray}\nonumber && E(s)S(s)=S(s)E(s)=0 \ \ \ \ \ \ (4) \\ \nonumber && ( H(s) - \lambda(s) I ) S(s) = I - E(s) \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} Eğer $H(s)$ işlemcisinin spektral dekompozisyonu [5] $H(s) = \int \lambda dE_{s}(\lambda)$ denklemi ile veriliyorsa, o zaman $S(s)$ işlemcisi aşağıdaki gibi temsil edilebilir. \begin{equation*} S(s) = \int^{\prime} [\lambda - \lambda(s)]^{-1} dE_{s}(\lambda) \ \ \ \ \ \ (6) \end{equation*} Burada $\int^{\prime}$ sembolü $\lambda = \lambda(s)$ hariç diğer noktalar üzerinden integral almayı temsil etmektedir.

(2) nolu denklemin çözümü aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} \psi_{\tau}(s) = V_{\tau}(s) \psi_{\tau}(0) \ \ \ \ \ \ (7) \end{equation*} $V_{\tau}(s)$, DD'yi temsil eden üniter bir dönüşümdür [Dipnot: Üniterlik ispatı aşağıda (16) nolu denklemdeki ispatla aynıdır.] ve aşağıdaki denklemleri sağlar. ($^{\prime} = d/ds$) \begin{eqnarray}\nonumber && V_{\tau}^{\prime}(s) = -i \tau H(s) V_{\tau}(s), \ \ \ V_{\tau}(0) = I, \ \ \ \ \ \ (8) \\ \nonumber && V_{\tau}^{\dagger \ \prime}(s) = i \tau V_{\tau}^{\dagger}(s)H(s), \ \ \ V_{\tau}^{\dagger}(0) = I. \ \ \ \ \ \ (9) \end{eqnarray} Burada $\dagger$ eşlenik işlemciyi temsil etmektedir. Eğer \begin{equation*} \overline{V} _{\tau}(s) = \exp \left\{ i\tau \int_{0}^{s} \lambda (y) dy \right\} V_{\tau}(s) \ \ \ \ \ \ (10) \end{equation*} denklemiyle $\overline{V} _{\tau}(s)$ işlemcisini tanımlarsak, o zaman (9) nolu denklem uyarınca aşağıdaki sonuç geçerli olur. \begin{equation*} \overline{V} _{\tau}^{\dagger \ \prime}(s) = i \tau \overline{V} _{\tau}^{\dagger}(s) (H(s)-\lambda (s) I) \ \ \ \ \ \ (11) \end{equation*}

§3. Adyabatik Dönüşüm.

Aşağıdaki diferansiyel denklemi ele alalım. \begin{eqnarray} \nonumber &&X^{\prime}(s) = iA(s)X(s) \ \ \ \ \ \ (12) \\ \nonumber &&iA(s) = [E^{\prime}(s),E(s)] \equiv E^{\prime}(s) E(s) - E(s)E^{\prime}(s) \ \ \ \ \ \ (13) \end{eqnarray} (12) nolu denklem ardışık yaklaştırma yöntemi ile kolayca çözülebilir ve çözüm $X(0)$ başlangıç değeriyle biricik bir biçimde tayin edilir. (12) nolu denklemin $U(0)=I$ başlangıç değeriyle yapılan çözümünü $U(s)$ ile gösterirsek, (12) nolu denklemin genel çözümünün $X(s)=U(s)X(0)$ ile verileceği barizdir. Ayrıca (13) nolu denklem uyarınca $A(s)$ Hermitik olduğundan \begin{equation*} U^{\prime}(s) = i A(s) U(s), \ \ \ U^{\dagger\ \prime}(s) = -iU^{\dagger}(s) A(s) \ \ \ \ \ \ (14) \end{equation*} olur. $(U^{\dagger}(s)U(s))^{\prime} = (-iU^{\dagger}(s)A(s))U(s) + U^{\dagger}(s)(iA(s)U(s))=0$ olduğundan, $U^{\dagger}(s)U(s) = U^{\dagger}(0)U (0)=I$ sonucu elde edilir. Ayrıca \begin{equation*} (U(s)U^{\dagger}(s))^{\prime} = (i A(s) U(s))U^{\dagger}(s) + U(s)(-iU^{\dagger}(s)A(s)) = i[A(s),U(s)U^{\dagger}(s)] \ \ \ \ \ \ (15) \end{equation*} eşitliğini de gözleyiniz. Bu denklem $U(s)U^{\dagger}(s)$ için bir lineer diferansiyel denklemdir ve çözümü de $U(0)U^{\dagger}(0)=I$ başlangıç değeriyle biricik bir biçimde tayin edilir. $U(s)U^{\dagger}(s)=I$, (15) nolu denklemi bariz bir biçimde çözdüğünden, $U(s)U^{\dagger}(s)=I$ olmalıdır. Dolayısıyla $U(s)$ işlemcisinin üniter olduğunu \begin{equation*} U^{\dagger}(s)U(s) = U(s)U^{\dagger}(s) = I \ \ \ \ \ \ (16) \end{equation*} denklemini göstererek ispatlamış bulunuyoruz.

$E(s)$ bir projeksiyon işlemcisi olduğundan [5], $E^{2}(s) = E(s)$ eşitliği geçerlidir. Her iki tarafın da türevini aldığımızda, $E^{\prime}(s)E(s) + E(s)E^{\prime}(s) = E^{\prime}(s)$ olur. Soldan ve sağdan $E(s)$ ile çarpıp $E^{2}(s)=E(s)$ olduğunu da hatırlayarak \begin{equation*} E(s)E^{\prime}(s)E(s)=0 \ \ \ \ \ \ (17) \end{equation*} denklemini elde ediyoruz. (13) ve (17) nolu denklemler kullanılarak \begin{equation*} iE(s)A(s) = -E(s)E^{\prime}(s), \ \ \ iA(s)E(s) = E^{\prime}(s)E(s) \ \ \ \ \ \ (18) \end{equation*} denklemi de elde edilebilir. Dolayısıyla yukarıda da verdiğimiz $E^{\prime}(s)E(s) + E(s)E^{\prime}(s) = E^{\prime}(s)$ eşitliği kullanıldığında \begin{equation*} E^{\prime}(s) = i A(s) E(s) - i E(s) A(s) = i[A(s),E(s)] \ \ \ \ \ \ (19) \end{equation*} denklemini elde etmiş oluruz. Bir sonraki basamakta $E(s)U(s)$ çarpımını ele alacağız. (14) ve (19) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} (E(s)U(s))^{\prime} = (E^{\prime}(s)+iE(s)A(s))U(s) = iA(s)E(s)U(s) \ \ \ \ \ \ (20) \end{equation*} olduğunu gözleyelim. (20) nolu denklem $W(s) \equiv E(s)U(s)$ çarpımının (12) nolu denklemi çözdüğünü söylemektedir. Bu yüzden yukarıda belirtilenler uyarınca $W(s)=U(s)W(0)$ ya da \begin{equation*} W(s) \equiv E(s)U(s) = U(s)E(0) \ \ \ \ \ \ (21) \end{equation*} ve dolayısıyla \begin{equation*} E(s) = U(s)E(0)U^{-1}(s) \ \ \ \ \ \ (22) \end{equation*} olmalıdır. Ayrıca (21) nolu denklemin sonucu olarak aşağıdaki denklemleri de not edelim. \begin{eqnarray} \nonumber && W(s) = E(s)W(s) = W(s)E(0) \ \ \ \ \ \ (23) \\ \nonumber && W^{\dagger}(s)W(s) = E(0), \ \ \ W(s)W^{\dagger}(s) = E(s) \ \ \ \ \ \ (24) \end{eqnarray} $W(s)$ işlemcisinin $U(s)$ işlemcisine kıyasla nispeten daha sade bir diferansiyel denklemi sağladığını söyleyen aşağıdaki denklemi de \begin{equation*} W^{\prime}(s) i A(s) W(s) = i A(s) E(s) W(s) = E^{\prime}(s) E(s) W(s) = E^{\prime}(s) W(s) \ \ \ \ \ \ (25) \end{equation*} (21,20,23 ve 18) nolu denklemleri kullanarak türetebiliriz. Nihayet, (25) ve (17) nolu denklemleri kullanarak \begin{equation*} E(s) W^{\prime}(s) = E(s) E^{\prime}(s) E(s) W(s) = 0 \ \ \ \ \ \ (26) \end{equation*} eşitliğini de buraya kaydedelim.

(22) nolu denklem $U(s)$ üniter işlemcisinin, $H(0)$ işlemcisine ait $E(0)$ özuzayını izometrik olarak $H(s)$ işlemcisinin $E(s)$ özuzayına dönüştürdü anlamına gelmektedir. (21) ve (23) nolu denklemler uyarınca, $W(s)E(0)=U(s)E(0)$ olduğundan, $W(s)$ işlemcisi $E(0)$ özuzayının fonksiyonlarına uygulandığında $U(s)$ ile aynı gönderimi verir. $U(s)$ veya $W(s)$ işlemcisine $\lambda(s)$ özdeğerine tekabül eden AD işlemcisi diyeceğiz. Müteakip bölümde, $U(s)$ işlemcisinin gerçekten de başlangıçta $E(0)$ özuzayında bulunan sistemin adyabatik değişimine tekabül ettiğini göstereceğiz ve (23) ve (26) nolu denklemlerin bu amaca erişmekte şart olduğu görülecektir.

İşaret. Eğer $E(s)$, $s$ değişkeninin düzenli (analitik) bir fonksiyonu ise, o zaman $U(s)$ işlemcisinin de düzenli olduğu kolayca görülecektir. Yukarıda atıfta bulunulan makalede [4] tartışılan düzenli perturbasyonla ilgili geçerli olan durum budur.

§4. Adyabatik Teoremin İspatı.

(11) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} (\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s))^{\prime} = i\tau \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s) (H(s)-\lambda(s)I)W(s) + \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W^{\prime}(s) \end{equation*} olur. Sağ taraftaki ilk terim (23) ve (3) nolu denklemler uyarınca sıfır olur. $\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(0)=I$ ve $W(0)=E(0)$ olduğunu not edip her iki tarafın $0$ ile $s$ arasında integralini aldığımızda \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) - E(0) = \int_{0}^{s} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(y) W^{\prime}(y) dy \ \ \ \ \ \ (27) \end{equation*} sonucunu elde ediyoruz. Ancak (26) ve (5) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} W^{\prime}(s) = (I - E(s)) W^{\prime}(s) = (H(s) - \lambda(s)I) S(s) W^{\prime}(s) \end{equation*} olduğundan, (11) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W^{\prime}(s) = \overline{V}_{\tau}^{\dagger} (H(s)-\lambda(s)I) S(s) W^{\prime}(s) = (i\tau)^{-1} \overline{V}_{\tau}^{\dagger \ \prime}(s)S(s)W^{\prime}(s) \end{equation*} ara sonucu elde edilir. Bunu (27) nolu denkleme koyup kısmi integrasyon tekniğini uyguladığımızda aşağıdaki denkleme ulaşıyoruz. \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) - E(0) = (i\tau)^{-1} \left[ \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(y)S(y)W^{\prime}(y)\right]_{0}^{s} - (i\tau)^{-1} \int_{0}^{s} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(y) ( S(y)W^{\prime}(y))^{\prime} dy \ \ \ \ \ \ (28) \end{equation*}

Öncelikle $\lambda(s)$ özdeğerinin diğer özdeğerleri veya sürekli spektrumu $0 \leq s \leq 1$ için kesmediğini varsayalım. O zaman (6) nolu denklemden de görüleceği üzere $S(s)$ sonludur ve $\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)$ üniter ve dolayısıyla 1 mertebesinde olduğundan, (28) nolu denklemin sağ tarafı $\tau^{-1}$ mertebesindedir. Sol taraftan $-\overline{V}_{\tau}(s)$ üniter işlemcisi ile çarpıp $\overline{V}_{\tau}(s) \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)=I$ eşitliğini not ettiğimizde \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}(s)E(0) - W(s) = O(\tau^{-1}) \end{equation*} ya da (10) ve (23) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} \left[ V_{\tau}(s) - \exp\left\{ -i\tau \int_{0}^{s} \lambda(y) dy \right\} W(s) \right] E(0) = O(\tau^{-1}) \ \ \ \ \ \ (29) \end{equation*} olur. Bu, $\tau \to \infty$ asimptotiğinde, $E(0)$ özuzayında bulunan herhangi bir fonksiyona $V_{\tau}(s)$ DD işlemcisinin etki etmesiyle, bir faz faktörü haricinde, aynı fonksiyona $W(s)$ AD işlemcisinin etki etmesinin aynı olduğu anlamına gelir ve (29) nolu denklem adyabatik teoremin tüm iddialarını havidir.

Bir örnek teşkil etmesi amacıyla, $H(0)$ işlemcisinin $\lambda(0)$ özdeğerine tekabül eden özfonksiyonlarından oluşan ortonormal sistemi, $\varphi_{1}(0), \ldots , \varphi_{m}(0)$ fonksiyonlarını ele alalım. O zaman $E(0)\varphi_{j}(0)=\varphi_{j}(0)$ olur ve (23) nolu denklem uyarınca $E(s)\varphi_{j}(s)=\varphi_{j}(s)$ olduğundan, $\varphi_{j}(s) \equiv U(s)\phi_{j}(0) = W(s)\phi_{j}(0)$ özfonksiyonları $H(s)$ işlemcisinin $\lambda_{j}(s)$ özdeğerine tekabül etmektedir. Ayrıca, $U(s)$ üniter bir işlemci olduğundan $\phi_{j}(s)$ fonksiyonları da bir ortonormal sistem oluşturur. Eğer (29) nolu denklemin her iki tarafını da sağdan $\varphi_{j}(0)$ ile çarparsak, o zaman aşağıdaki sonuç elde edilir. \begin{equation*} V_{\tau}(s) \varphi_{j}(0) - \exp \left\{ -i\tau \int_{0}^{s}\lambda(y) dy \right\} \varphi_{j}(s) = O(\tau^{-1}) \ \ \ \ \ \ (30) \end{equation*} Ama $V_{\tau}(s) \varphi_{j}(0)$, hareket denkleminin $\varphi_{j}(0)$ başlangıç durumuna tekabül eden çözümüdür. Dolayısıyla (30) nolu denklem bu çözümün $H(s)$ işlemcisinin $\varphi_{j}(s)$ özfonksiyonuyla çarpım durumundaki bir faz faktörüne ve $O(\tau^{-1})$ kadar bir nicelik farkıyla örtüştüğü anlamına gelir.

Şimdi de $\psi (0)$ ile herhangi bir dalga fonksiyonunu ele alalım. (30) nolu denklemin $V_{\tau}(s)\psi(0)$ ile iç çarpımını aldığımızda ve $V_{\tau}(s)$ işlemcisinin üniter olduğunu gözettiğimizde aşağıdaki sonucu elde ediyoruz. \begin{equation*} \langle \varphi_{j}(0) | \psi (0) \rangle - \exp \left\{ -i\tau \int_{0}^{s} \lambda(y) dy \right\} \langle \varphi_{j}(s) | V_{\tau}(s)\psi(0) \rangle = O(\tau^{-1}) \ \ \ \ \ \ (31) \end{equation*} [Tercümanın notu: $f$ ve $g$ iki fonksiyon, $\alpha$ karmaşık bir sayı ve $\alpha^{*}$ onun karmaşık eşleniği olsun. Matematikçilerin iç çarpım konvansiyonu $\langle \alpha f | g \rangle = \alpha \langle f | g \rangle$ ve $\langle f | \alpha g \rangle = \alpha^{*} \langle f | g \rangle$ iken fizikçilerin iç çarpım konvansiyonu bunun tam tersi yani $\langle f | \alpha g \rangle = \alpha \langle f | g \rangle$ ve $\langle \alpha f | g \rangle = \alpha^{*} \langle f | g \rangle$ formundadır. Kato'nun makalede matematikçilerin iç çarpım konvansiyonunu takip ettiğini (31) nolu denklemden anlıyoruz.] Sistemin başlangıçta $\psi(0)$ dalga fonksiyonu ile temsil edilmesi halinde, sistemin $s=0$ anında $\varphi_{j}(0)$ durgun durumunda bulunma ihtimali $| \langle \varphi_{j}(0) | \psi(0) \rangle |^{2}$ ile verilir. Sistemin $s$ zaman sonra tekabül eden $\varphi_{j}(s)$ durumunda bulunma ihtimali ise $| \langle \varphi_{j}(s) | V_{\tau}(s) \psi(0) \rangle |^{2}$ ile verilmektedir. Dolayısıyla (31) nolu denklem bu ihtimallerin $O(\tau^{-1})$ kadar bir hata payına kadar eşit olduklarını gösterir. [Dipnot: Öte yandan $\langle \varphi_{j}(0) | \psi(0) \rangle = 0$ olması halinde, söz konusu hata payı $O(\tau^{-2})$ kadardır.]

Böylece (29) nolu denklemin adyabatik teoremin tüm iddialarını havi olduğu görülür.

Son olarak $\lambda(s)$ ile diğer özdeğerler arasında sonlu sayıda kesişim olduğu durumu ele alacağız. $s_{1}, \ldots , s_{N-1}$ bahsi geçen kesişimlerin gerçekleştiği zamanlar olsun. O zaman $S(s)$ işlemcisi genellikle bu noktalarda sonsuz olur (bak. (6) nolu denklem) ve (28) nolu denklem geçerliliğini yitirir. Ancak $\delta > 0$ olacak şekilde küçük bir sayı alırsak, (28) nolu denklemi $(0,s)$ aralığı yerine her bir $s_{k-1}+\delta \leq s \leq s_{k}-\delta$ aralığına uyguladığımızda, sabit bir $\delta$ değeri için \begin{equation*} \lim _{\tau \to \infty} \left[ \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) \right]_{s_{k-1}+\delta}^{s_{k}-\delta} = 0 \end{equation*} limitini elde ederiz. (Burada $k=1,\ldots , N$; $s_{0}=0$ ve $s_{N}=1$.) Öte yandan (27) nolu denklemi $s_{k}-\delta \leq s \leq s_{k}+\delta$ aralığına uyguladığımızda, $\overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)$ üniter olduğundan $\tau$ değişkenine göre üniform bir şekilde \begin{equation*} \lim _{\delta \to 0} \left[ \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) \right]_{s_{k}-\delta}^{s_{k}+\delta} = 0 \end{equation*} limitini elde ederiz. Netice itibariyle, önce $\delta$ değerini küçük ardından da $\tau$ değerini yeterince büyük alırsak, o zaman kolayca \begin{equation*} \overline{V}_{\tau}^{\dagger}(s)W(s) - E(0) = o(1) \end{equation*} sonucuna varabiliriz. Burada $o(1)$, $\tau \to \infty$ asimptotiğinde sıfıra yakınsayan bir niceliği temsil etmektedir. Daha önce olduğu gibi genel durumda adyabatik teoremin ispatını veren \begin{equation*} \left[ V_{\tau}(s) - \exp\left\{ -i\tau \int_{0}^{s} \lambda(y) dy \right\} W(s) \right] E(0) = o(1) \ \ \ \ \ \ (32) \end{equation*} sonucuna varılır.

Elbette (32) nolu denklem, ilgili özdeğerin ve tekabül eden özuzaya projeksiyonun daha önce belirttiğimiz $s$ değişkenine göre uygun süreklilik şartını sağlamaları koşuluyla, $H(s)$ işlemcisinin her özdeğeri için geçerlidir. Öte yandan bu süreklilik şartı ihlal edildiğinde adyabatik teorem de genellikle geçerliliğini yitirir [6].

§5. Adyabatik Dönüşümün Uzantısı.

Bu noktaya kadar $H(s)$ işlemcisinin sadece bir tane $\lambda (s)$ özdeğerini ele aldık ve tekabül eden AD yani $U(s)$ işlemcisini kurduk. Buna göre $U(s)$, $E(0)$ özuzayı dışında kalan fonksiyonlara etki ettiğinde AD'yi temsil etmeyecektir ve $H(s)$ işlemcisinin farklı özdeğerleri için farklı $U(s)$ işlemcileri kurmamız gerekir.

Bu kusuru düzeltmek maksadıyla, bu bölümde $H(s)$ işlemcisinin tüm kesikli $\lambda_{n}$, ($n=1,2,\ldots$), özdeğerlerinin AD'sini aynı anda tarif etme kapasitesine sahip, üniter bir $U(s)$ işlemcisinin kurulabileceğini göstereceğiz.

$\lambda_{n}(s)$ özdeğerine tekabül eden özuzay $E_{n}(s)$ olsun. Çok iyi bilindiği üzere, söz konusu projeksiyonlar birbirlerine diktir: \begin{equation*} E_{n}(s)E_{m}(s) = \delta_{n,m}E_{n}(s), \ \ \ (n,m=1,2,\ldots). \end{equation*} Sürekli spektrumun varlığını dışlamadığımız için, bu projeksiyonlar tam değildir. \begin{equation*} I - \sum_{n=1}^{\infty} E_{n}(s) = E_{0}(s) \ \ \ \ \ \ (33) \end{equation*} ile genel olarak sıfırdan farklı $E_{0}(s)$ işlemcisini tanımlarsak, bu işlemcinin diğer tüm $E_{n}(s)$ ($n \geq 1$) projeksiyonlarına dik olduğu görülür.

Bu $E_{n}(s)$ projeksiyonları uygun bir biçimde sürekli ise, o zaman 3. bölümde tanımlanan (bak. (21) nolu denklem) ilgili $W_{n}(s)$ AD işlemcisini kurabiliriz ve (23) ve (24) nolu denklemler uyarınca aşağıdaki eşitlikler geçerli olur. \begin{eqnarray} \nonumber && W_{n}(s) = E_{n}(s)W_{n}(s) = W_{n}(s)E_{n}(0) \ \ \ \ \ \ (34) \\ \nonumber && W^{\dagger}_{n}(s)W_{n}(s) = E_{n}(0), \ \ \ W_{n}(s)W^{\dagger}_{n}(s) = E_{n}(s) \ \ \ \ \ \ (35) \end{eqnarray} $m \ne n$ için (34) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} W^{\dagger}_{n}(s)W_{m}(s) = W^{\dagger}_{n}(s)E_{n}(s)E_{m}(s)W_{m}(s) = 0, \ \ \ W_{n}(s)W^{\dagger}_{m}(s) = W_{n}(s)E_{n}(0)E_{m}(0)W_{m}^{\dagger}(s) = 0 \ \ \ \ \ \ (36) \end{equation*} olur. Bu aşamada adyabatik dönüşümü \begin{equation*} U(s) = \sum_{n=0}^{\infty} W_{n}(s) \ \ \ \ \ \ (37) \end{equation*} tanımlıyoruz. O zaman (35, 36 ve 33) nolu denklemler uyarınca \begin{equation*} U^{\dagger}(s)U(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} W_{n}^{\dagger}(s) W_{m}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} E_{n}(0) = I \end{equation*} olur. Tamamen benzer bir şekilde $U(s)U^{\dagger}(s)=I$ olduğunu da göstererek, $U(s)$ işlemcisinin üniter olduğunu ispatlayabiliriz. Ardından, (34) nolu denklem uyarınca \begin{equation*} U(s)E_{n}(0) = \sum_{m=0}^{\infty} W_{m}(s)E_{m}(0)E_{n}(0) = W_{n}(s) \end{equation*} yazabiliriz. Böylece $U(s)$, $W_{n}(s)$ ile $E_{n}(0)$ projeksiyonuna etki ettiğinde örtüşmüş olur ve $U(s)$ işlemcisinin her bir $E_{n}(0)$ alt uzayında AD'yi temsil ettiği gösterilir. İstediğimiz işlemciyi elde ettik.

Bitirirken $U(s)$ işlemcisinin aşağıdaki diferansiyel denklemi sağladığını not ediyoruz. \begin{eqnarray}\nonumber && U^{\prime}(s) = iB(s)U(s), \\ \nonumber && iB(s) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} [E_{n}^{\prime}(s),E_{n}(s)]. \end{eqnarray}

Bibliyografya.

[1] M. Born and V. Fock: Zs. f. Phys. 51 (1928), 165. Ayrıca bak. M. Born and P. Jordan: Elementare Quantenmechanik. Berlin, 1930.
[2] Bu hususta kullandığımız yöntem Güttinger'in yöntemiyle paralellik arz etmektedir. Güttinger, Zs. f. Phys. 73 (1931), 169.
[3] J. von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin, 1932, sayfa 40.
[4] Kıyaslayın: T. Kato, Prog. Theor. Phys. 4 (1949), 514.
[5] Bak. [3], sayfa 60.
[6] Kıyaslayın: M. Born, Vorlesungen über Atommechanik, Berlin, 1925, sayfa 112'de yer alan klasik örnek.

---

Kilit terimlerin tercümede kullanılan Türkçe karşılıkları

adiabatic transformation: adyabatik dönüşüm
adjoint operator: eşlenik işlemci (Hermitik eşlenik)
complete: tam
continuous: sürekli
degeneracy: yozlaşma
discrete: kesikli
dynamical transformation: dinamik dönüşüm
eigenfunction: özfonksiyon
eigenspace: özuzay
eigenvalue: özdeğer
immediate neighborhood: yakın komşuluk
initial value: başlangıç değeri
mapping: gönderim
multiplicity: çokkatlılık
piecewise continuous: parçalı sürekli
real change: hakiki değişim
regular function: düzenli fonksiyon
scalar product: iç çarpım, skaler çarpım
subspace: alt uzay
successive approximation: ardışık yaklaştırma
unitary operator: üniter işlemci
virtual change: zahiri değişim

“Faydasız Bilginin Faydası” Abraham Flexner'in makalesinin tercümesi

Aşağıda İleri Araştırmalar Enstitüsü’nün kurucularından ve 20. yy’da Amerikan yüksek öğrenim hayatını ıslah eden entelektüellerden Abraham Flexner’ın Harper’s Magazine adlı derginin 179. cildinin Haziran-Kasım 1939 sayısında çıkan, etkili yazısının tercümesi bulunmaktadır. Yazar, fayda ve yarar mülahazasıyla değil de merakının peşinde koşarak yapılan çalışmaların insanlığa en büyük faydayı sağlayıp insan ruhunu hür bıraktığını savunuyor. Tercüme tüm kusurlarıyla beraber bendenize aittir.
Mustafa Demirplak, 3 Temmuz 2017, Büyükçekmece

---

Faydasız Bilginin Faydası
Abraham Flexner

Medeniyetin bizzat kendisini tehdit eden akıl almaz boyutta husumetlere dalmış bir dünyada, kadın erkek, genç yaşlı kimselerin kendilerini tamamen ya da kısmen gündelik yaşamın kızgın akışından soyutlayıp, güzel olan şeylerin yeşertilmesine, bilginin arttırılmasına, hastalıkların tedavisine, dert ve kederlerin devasına adamış olmaları, tıpkı bağnaz kimselerin acı, çirkinlik ve elemi yaymaya angaje olmaları gibi, çok da merakı mucip bir şey olmasa gerek, değil mi? Dünya hep üzgün ve karman çorman bir yer olagelmiştir. Öte yandan şairler, sanatçılar ve bilim adamları da meşgul olmaları halinde kendilerini felç edecek faktörleri göz ardı etmişlerdir. Pratik açıdan bakıldığında, entelektüel ve spiritüel yaşam, ilk esnada, insanların başka sahalarda elde ettiklerine kıyasla daha büyük tatmin kaynakları sağladığı için kendilerini şımarttıkları, faydasız bir faaliyet şekli olarak görülür. Bu yazıda söz konusu faydasız tatminlerin peşinde koşmanın, aynı zamanda akla hayale gelmeyen yararların da hiç umulmadık türetilme kaynağı olması üzerinde duracağım.

Bitmek tükenmek bilmeyen bir tekrarla, çağımızın materyalist bir çağ olduğunu ve esas maksadının da emtia ve dünyevi fırsatların daha yaygın dağıtımı olması gerektiğini duyarız. Dolayısıyla, tamamen başkalarının hataları sonucu, dünyevi emtianın adil paylaşımından ve bunlara erişme fırsatından mahrum bırakılanların haklı feryadı, artan sayıda talebenin yönünü, seleflerinin peşinden koştuğu branşlardan, eşit derecede önemli ve acilen çözüm bekleyen toplumsal, iktisadi ve devlet yönetimine ilişkin sorunlara çevirmektedir. Benim bu eğilimle bir sorunum yok. Yaşadığımız dünya, varlığına duyularımızın tanıklık ettiği tek dünya. Bu dünya daha iyi ve daha adil kılınmadığı müddetçe, milyonlarca insan mezarına sesi soluğu kesilmiş, kalbi buruk ve küskün gitmeye devam edecek. Kendim uzun yıllar boyunca, okullarımızın, öğrencilere hayatlarını geçirecekleri dünyaya yönelik daha ciddi bir farkındalık kazandırmalarını teşvik etmek amacıyla gayret sarf ettim. Şimdi bazen o akımın çok güçlü olup olmadığını ve dünya, kendisine spiritüel mana katan bazı faydasız şeylerden arındırıldığında dolu dolu bir yaşam için yeterli fırsat bulunup bulunmayacağını merak ediyorum. Diğer bir deyişle, neyin faydalı olduğuna ilişkin anlayışımız, insan ruhunun uçarı ve kaprisli isteklerini karşılamaya yetecek kadar uygun bir kıvama erişmemiş olabilir.

Bu soruna iki açıdan bakabiliriz: bilimsel ve hümanist ya da spiritüel. Önce bilimsel olanı ele alalım. Bay George Eastman ile birkaç yıl önce fayda üzerine yaptığımız bir sohbeti hatırlıyorum. Müzik ve sanat zevkine sahip, bilge ve ileri görüşlü bir beyefendi olan Bay Eastman, bana, devasa servetini faydalı sahalarda eğitimi teşvik için tahsis etmek istediğini söylüyordu. Ona dünyadaki en faydalı bilim işçisi olarak gördüğü kişinin kim olduğunu sorma cür'etini gösterdim. Anında yanıt verdi: “Marconi.” Ben de “Radyodan aldığımız haz ya da telsiz ve radyonun insan yaşamına katkısı ne olursa olsun, Marconi’nin bunlardaki payı ihmal edilebilir düzeydedir.” diyerek onu şaşırttım.

Yaşadığı şaşkınlığı hiç unutmam. İzahat getirmemi talep etti. Ona verdiğim cevap üç aşağı beş yukarı şöyledir:

“Bay Eastman, Marconi’nin çalışması kaçınılmaz bir sonuçtu. Telsiz iletişim sahasında yapılan her şey için esas övgü, bu tür temel övgünün herhangi bir kimseye tahsis edilebileceği ölçüde, 1865’te manyetizma ve elektrik sahasında derin ve anlaşılması zor hesaplamalar yapan Profesör Clerk Maxwell’e aittir. Maxwell, soyut denklemlerini, 1873’te yayınlanan bilimsel bir çalışmada yeniden basmıştır. British Association’ın müteakip toplantısında, Oxford Üniversitesi’nden Profesör H. J. S. Smith, ‘hiçbir matematikçinin, bu ciltlerin sayfalarını, halihazırda soyut matematiğin yöntem ve kaynaklarına geniş ölçüde katkı yapan bir teoriye havi olduklarını fark etmeden karıştıramayacağını’ beyan etmiştir. Diğer keşifler de takip eden on beş yıl boyunca Maxwell’in teorik çalışmalarını tamamlamıştır. Nihayet 1887-1888 yıllarında geriye kalan bilimsel problem, yani telsiz sinyallerinin taşıyıcısı olan elektromanyetik dalgaların tespiti ve varlıklarının ispatı, Helmholtz’un Berlin’deki laboratuvarında bir çalışan olan Heinrich Hertz tarafından çözülmüştür. Ne Maxwell ne de Hertz, çalışmalarının faydalı olması hakkında bir kaygı duymamış, böylesi bir düşünce akıllarına dahi gelmemiştir. Onlar hiçbir yarar amacı gütmedi. Mucit, yasal anlamda elbette Marconi’dir, ancak Marconi’nin icat ettiği şey haddi zatında nedir? Sadece son teknik ayrıntı: çoğunlukla artık köhne addedilip ıskartaya çıkarılan ve adına koherer denilen bir alıcı cihaz.”

Hertz ve Maxwell hiçbir şeyi icat etmediler belki. Ancak zeki bir teknisyen tarafından önemi kavranan faydasız teorik çalışmaları sayesinde iletişim, gündelik işlerde yararlılık ve eğlence için yeni vasıtalar yaratılmış ve bu vasıtalar meziyetleri nispeten küçük adamlara şöhret ve servet kazandırmıştır. Kimdir burada gerçekten de işe yarar adam? Clerk Maxwell ve Heinrich Hertz, ancak Marconi değil. Hertz ve Maxwell fayda amacı gütmeyen dahilerdi. Marconi ise faydadan başka düşüncesi olmayan zeki bir mucit.

Hertz’ten bahsedilince Bay Eastman Hertz dalgalarını hatırladı ve ona Rochester Üniversitesi’ndeki fizikçilere tam olarak Hertz ve Maxwell’in neler yaptığını sormasını salık verdim. Fakat onu temin ederek bir şeyi de ilave ettim: Adı geçen bilim adamları çalışmalarını fayda düşüncesini gözetmeden yürütmüştür ve bilim tarihi boyunca nihayetinde insanlığa faydalı olduğu ortaya çıkan gerçekten de büyük keşiflerin çoğu faydalı olma arzusuyla değil de meraklarını tatmin arzusuyla tahrik edilen, kadın ve erkekler tarafından yapılmıştır.

“Merak mı?” diye sordu Bay Eastman.

“Evet,” dedim, “muhtemelen modern düşüncenin en göze çarpan özelliği, faydalı bir şey hasıl edip etmeyeceği önceden kestirilemeyen, meraktır. Kaldı ki bu yeni bir tespit de değil. Bu tespit ta Galileo, Bacon ve Sir Isaac Newton’a kadar gider ve meraka kesinlikle ket vurulmamalıdır. Öğrenim kurumları, merakın yeşertilmesine kendilerini adamalıdır ve doğrudan uygulamaya yönelik mülahazalar tarafından ne kadar az yollarından saptırılırlarsa, o derece hem insani refah düzeyine hem de eş seviyede önemli entelektüel merakın tatminine katkıda bulunmaları olasıdır. Modern zamanlarda söz konusu tatminin entelektüel hayatın egemen tahrik edici kuvveti haline geldiğinden dem vurulabilir.”

II

On dokuzuncu yüzyılın son dönemlerinde, Helmholtz’un laboratuvarının bir köşesinde, sessizce ve fark edilmeden çalışan Heinrich Hertz için geçerli olanın, son birkaç asırdır dünya üzerinde çalışan fen bilimciler ve matematikçiler için de geçerli olduğu söylenebilir. Elektriksiz kaldığında çaresizliğe düşecek bir dünyada yaşıyoruz. En acil ve geniş kapsamlı pratik kullanımı tespite davet edilsek muhtemelen elektrikte karar kılarız. İyi ama, yüz yıldan daha uzun süren elektriksel gelişimin temel keşiflerini kim yapmıştır?

Bu sorunun cevabı ilginç. Michael Faraday’ın babası bir demirci idi. Michael da bir mücellithaneye çırak olarak girmişti. 1812’de 21 yaşındayken bir arkadaşı onu Kraliyet Enstitüsü’ne götürdü ve orada Sir Humphrey Davy’nin kimyaya dair konularda verdiği dört dersi takip etti. Bir kısım notlar tuttu ve bu notların bir nüshasını da Davy’ye gönderdi. Ertesi yıl, yani 1813’te, Davy’nin laboratuvarında kimyasal problemlerle uğraşan bir asistan oldu. İki yıl sonra Avrupa’ya yapılan bir seyahatte Davy’ye eşlik etti. 1825’te otuz dört yaşındayken Kraliyet Enstitüsü Laboratuvar Başkanı oldu ve hayatının elli dört yılını burada geçirdi.

Faraday’ın ilgisi kısa sürede kimyadan faal hayatının geri kalanını hasredeceği elektrik ve manyetizmaya kaydı. Bu sahada önemli fakat kafa karıştırıcı çalışmalar Oersted, Ampère ve Wollaston tarafından daha önce yapılmıştı. Faraday onların çözüme kavuşturamadığı zorlukları temizledi ve 1841 yılına gelindiğinde elektrik akımının indüksiyonu meselesini başarıyla halletmişti. Dört yıl sonra, manyetizmanın polarize ışık üzerindeki etkisini keşfettiğinde, kariyerindeki ikinci ve eşit derecede parlak bir dönem başlamıştı. Önceki keşifleri, elektriğin modern hayatın angaryalarını aydınlattığı ve fırsatları arttırdığı sonsuz sayıda pratik uygulamayı doğurmuştur. Sonraki keşifleri ise, pratik neticeler yönüyle şimdiye değin üretkenlikte daha geridedir. Pekiyi bu mukayese Faraday’ın umurunda oldu mu? Kesinlikle hayır. Benzeri olmayan kariyerinin hiçbir döneminde fayda umurunda olmadı. Tüm dikkatini kainatın gizemlerini çözmeye odaklamıştı. İlkin kimyasal, sonraki dönemlerde fiziksel gizemler. Onun takdir ettiği önem sıralamasında yararlılık sorunsalı asla yer almadı. Yararlılığa ilişkin en ufak bir endişe onun dur durak bilmeyen merakına ket vururdu. Nihayetinde bir yarar elde edildi, ancak bu asla onun sınırsız deneylerinin tabi tutulabileceği bir kriter olmadı.

Günümüzün dünyayı kuşatan atmosferinde, savaşı daha yıkıcı ve daha korkunç yapmada bilimin oynadığı rolün, bilimsel faaliyetin bilinçsiz ve istenmeyen bir yan ürünü olduğunu vurgulamamız gerekiyor belki. British Association for the Advancement of Science başkanı Lord Rayleigh, yakın tarihli yazılarından birinde, modern harpte kullanılan maddelerin tahripkar kullanımından bilim adamlarının değil de insanın çılgınlığının sorumlu olduğunu ayrıntılarıyla izah etmiştir. Sonsuz derecede faydayı netice veren organik kimyaya dair masumane çalışmalar, nitrik asidin benzen, gliserin, selüloz, vb. maddelerle tepkimesinin, sadece anilin boya sanayii gibi yararlı sonuçları doğurmadığını, aynı zamanda iyi ve kötü kullanımları bulunan nitrogliserinin yapımına da neden olduğunu göstermiştir. Bir süre sonra aynı konu üzerine çalışan Alfred Nobel, nitrogliserini başka maddelerle karıştırarak, kullanımı güvenli katı patlayıcıların, ki dinamit bunlardan biridir, üretilebileceğini göstermiştir. Madencilikteki ilerlememizi ve Alpleri ve diğer sıradağları delen demir yolu tünellerini dinamite borçluyuz. Ancak, dinamitin siyasiler ve askerler tarafından istismar edildiği de bir vakıadır. Lakin, bilim adamları deprem ve sel baskınları için nasıl suçlanamazsa, dinamitin zararlarından ötürü de itham edilemezler. Aynı şey zehirli gaz için de söylenebilir. Pliny, neredeyse iki bin yıl önce Vezüv Yanardağı’nın patlamasından yayılan kükürt dioksiti soluduğu için öldü. Bilim adamları kloru savaşçıl amaçlar için izole etmemişlerdir, ki aynı şey hardal gazı için de geçerlidir. Bu maddelerin kullanımı faydalı kullanım ile kısıtlanabilir. Ancak uçak icat olunup olgunlaştığında yüreği ve beyni çürük kimseler, haddi zatında masum bir icat ve uzun, ön yargısız, bilimsel bir çabanın ürünü olan uçağın, herkesin hayal ve kasdi hedeflerinin hilafına, bir tahrip cihazı olarak da kullanılabileceğini düşünmüştür.

Yüksek matematik alanında ise hemen hemen sayısız örnek bulmak mümkün. Mesela, on sekizinci ve on dokuzuncu asırların anlaşılması en güç matematiksel çalışması olan “Öklitçi Olmayan Geometri”. Mucidi Gauss, çağdaşları tarafından seçkin bir matematikçi olarak tanınmasına karşın, “Öklitçi Olmayan Geometri” üzerine yaptığı çalışmalarını çeyrek asır boyunca yayınlamaya cesaret edemedi. Nitekim, Gauss’un Göttingen’de yaptığı çalışma olmadan, pek çok pratik yönelimleri bulunan izafiyet teorisinin keşfi mümkün olmazdı.

Yine, şimdilerde “grup teorisi” olarak bilinen şey, soyut ve uygulanamaz bir matematiksel teoriydi. Teori, meraklı ve merak ve meşgaleleriyle garip yollara sürüklenen insanlar tarafından geliştirildi. Ama günümüzde “grup teorisi” bugünlere nasıl gelindiğine dair hiçbir fikri olmayan insanlar tarafından her gün kullanılan spektroskopinin kuvantum teorisinin temelini oluşturmaktadır.

Tüm ihtimaliyat hesapları, esas maksadı kumar oyunlarının rasyonalizasyonu olan matematikçiler tarafından keşfedilmiştir. Hedeflenilen pratik amaçta başarısız olmuştur bu bilim, lakin tüm sigorta türleri için bilimsel bir taban teşkil etmiş olmasının yanı sıra on dokuzuncu asır fiziğinin çok geniş bir bölümü de ona dayanmaktadır.

Bu meyanda Science dergisinin son sayılarından birisinden aşağıdaki bölümü iktibas ediyorum:

Profesör Albert Einstein’ın, helyumun sıcaklık skalasının mutlak sıfırına yakın, insanı şaşırtan akışkanlığının gizemini çözmeye yardımcı olacak matematiği on beş yıl önce geliştirdiği açıklandığında, bilge matematiksel fizikçinin dehasının itibarı yeni boyutlara erişti. Şimdilerde Duke Üniversitesi’nde misafir profesör olan, Paris Üniversitesi’nden Profesör F. London, Amerikan Kimya Cemiyeti’nin moleküller arası etkileşim üzerine düzenlediği sempozyumda yaptığı konuşmada, “ideal” gaz kavramını Profesör Einstein’a isnat etmiştir, ki bu kavram Einstein’in 1924 ve 1925 tarihli makalelerinde geçmektedir.

Einstein’ın 1925 tarihli raporları, izafiyet teorisi hakkında değil, o zamanlar görünüşte pek bir pratik anlam taşımayan sorunları tartışmakta, sıcaklık skalasının alt sınırlarına yakın “ideal” bir gazın soysuzlaşmasını [ya da yozlaşmasını, degeneracy] tarif etmekteydi. Bahsi geçen sıcaklıklarda bilinen tüm gazlar sıvı faza yoğunlaştığından, Einstein’ın on beş yıl önceki çalışması bilim adamlarınca göz ardı edildi.

Öte yandan, yakın zamanda keşfedilen sıvı helyumun davranışı, yan kulvara itilen Einstein’ın konseptini faydalı olabileceği yeni bir sahaya çıkardı. Soğutulduklarında çoğu sıvının viskozitesi artar, yapışkanlaşır ve akıtılmaları zorlaşır. Sokaktaki adam viskoziteyi “Ocak ayında pekmezden daha soğuk” tabiri ile mefhumlaştırır ki doğru bir tabirdir.

Bununla birlikte, sıvı helyum şaşırtıcı bir istisnadır. Mutlak sıfırın sadece 2,19 derece üstünde “delta” noktası olarak bilinen bir sıcaklıkta sıvı helyum, daha yüksek sıcaklıktaki akışkanlığından daha iyi akar ve aslına bakılırsa sıvı helyum neredeyse bir gaz kadar bulutsudur. Tuhaf davranışına bir gizem daha eklemek için olsa gerek, bu sıcaklıkta devasa bir ısı iletkenliği de vardır. Delta noktasında bu özelliği yönüyle bakırdan 500 kat daha etkindir. Sıvı helyum bu ve diğer anomalileriyle birlikte fizikçi ve kimyacılar için büyük bir gizem kaynağı teşkil etmiştir.

Profesör London, sıvı helyumun davranışının en iyi izahının, onu bir Bose-Einstein “ideal” gazı addedip, 1924-25 yıllarında ortaya konan matematiği kullanarak ve metallerin elektrik iletkenliğinden bazı kavramları alarak yapılabileceğini söylemiştir. Basit bir benzetme yapacak olursak, sıvı helyumun insanı şaşırtan akışkanlığı, bu kavramın elektrik iletkenliğini açıklamak için metallerin içinde elektronların hareketine benzer bir şey olarak resmedilmesiyle kısmen açıklanabilir.

Bakışımızı başka bir yöne çevirelim. Tıp ve halk sağlığı sahalarında bakteriyoloji bilimi yarım asırdır öncü bir rol oynuyor. Nedir bu bilimin hikayesi? 1870 Fransız-Prusya harbinin akabinde, Alman Hükumeti o muhteşem Strazburg Üniversitesi’ni kurdu. Üniversite’nin ilk anatomi profesörü, bilahare Berlin’de de aynı görevi icra eden, Wilhelm von Waldeyer idi. Von Waldeyer Hatırat’ında, ilk akademik yarıyılda onunla beraber Strazburg’a giden öğrenciler arasında on yedi yaşında minyon tipli, ilk bakışta göze çarpmayan, Paul Ehrlich adında suskun bir gençten bahseder. O dönemin vasat bir anatomi dersi, dokuların diseksiyonundan ve mikroskobik incelenmesinden oluşmaktadır. Hatırat adlı eserde anlatıldığına göre Ehrlich diseksiyon çalışmalarına neredeyse hiç ilgi duymamıştır. Hikayenin kalan kısmını Waldeyer’den dinleyelim:

Ehrlich’in masasında tamamen mikroskobik gözlemlere dalmış bir şekilde uzun uzadıya çalışacağını erkenden fark ettim. Dahası, masası yavaş yavaş her türden renklendirilmiş numuneyle kaplanmaya başlamıştı. Bir gün iş yerinde oturduğunu gördüğümde, ona yaklaştım ve masasında gök kuşağının renkleriyle ne yaptığını sordum. Bunun üzerine, güya ilk akademik yarıyılında vasat bir anatomi dersi alan bu öğrenci bana baktı ve yumuşak bir ses tonuyla “Ich probiere.” dedi. Bu ifade hem “Çalışıyorum, deniyorum.” hem de “Eğleniyorum, vaktimi çarçur ediyorum.” şeklinde tercüme edilebilir. Ben de ona cevaben “Pekala o zaman. Her ne yapıyorsan ona devam et.” dedim. Çok zaman geçmeden fark ettim ki, tarafımdan hiçbir eğitim veya yönlendirme olmadan, Ehrlich’in içine olağan dışı nitelikte bir öğrenci kaçırmışım.

Waldeyer bilgece bir davranış sergileyerek öğrencisini kendi haline terk etti. Ehrlich tıp müfredatını istikrarsız bir yoldan bitirdi ve nihayetinde bir tıp diploması aldı. Bu diplomayı almasındaki en büyük amil, hocalarının aldığı diplomayla tıp pratiği yapmayacağını bariz bir şekilde fark etmeleriydi. Daha sonra Breslau’ya gitti ve Johns Hopkins Tıp Fakültesi’nin kurucusu ve yapıcısı olan Dr. Welch’in hocası Profesör Cohnheim’in gözetiminde çalıştı. Fayda ve yarar mülahazalarının Ehrlich’in aklından geçtiğini sanmıyorum. İlgiliydi ve meraklıydı ve “vaktini çarçur etmeye” devam etti. Kuşkusuz, onun vaktini çarçur etmesine derin bir sezgi rehberlik ediyordu ancak bu sezgi bütünüyle bilimseldi ve faydacı bir motivasyon değildi. Sonuçta ne oldu? Koch ve çalışma arkadaşları, bakteriyoloji bilimi adında yeni bir bilim kurdu. Ehrlich’in deneyleri artık akranı denilebilecek bir öğrenci olan Weigert tarafından bakterileri boyamada ve böylece onların farklılaştırılmasına yardım etmede uygulanıyordu. Erlich kendisi kan filminin boya maddeleriyle lekelenmesi yöntemini geliştirdi ki al ve ak kan hücrelerinin morfolojisine ilişkin modern bilgimiz buna dayanmaktadır. Dünya genelindeki binlerce hastanede Erlich’in tekniğinin kullanılarak kan numunelerinin tahlil edilmediği bir gün dahi geçmemektedir. Böylece, Waldeyer’in Strazburg’daki diseksiyon odasında görünüşte amaçsızca çarçur edilen zaman, günlük tıbbi uygulamada ana faktör haline gelmiştir.

Carnegie Teknoloji Enstitüsü’nden (Pittsburgh) Profesör Berl’ün bir yazısından iktibasla, sanayiden de rastgele bir örnek vereceğim. Rastgele, zira çok sayıda benzer örnek mevcut.

Modern yapay ipek sanayisinin kurucusu Fransız Kont Chardonnet’tir. Pamuk barutunun eter-alkol solventindeki bir çözeltisini kullandığı ve bu viskoz çözeltiyi kılcal borulardan basınçla suya geçirip selüloz nitrat filamanı pıhtılaştırdığı bilinir. Pıhtılaşmadan sonra söz konusu filaman hava ortamına alınıp bobinlere sarılır. Günün birinde Chardonnet Besançon-Fransa’daki fabrikasını denetler. Selüloz nitrat filamanı pıhtılaşması için gereken su kazara kesilir ve işçiler susuz eğirme işleminin sulu eğirmeye kıyasla çok daha iyi ilerlediğini gözler. En büyük ölçekte gerçekleştirilen kuru eğirme işlemi aslında böyle doğmuştur.

III

Yanlış anlaşılmasın. Laboratuvarda gerçekleşen her şeyin nihayetinde umulmadık pratik bir faydaya dönüşeceğini ya da böylesi bir faydanın laboratuvar çalışmasının varlık sebebi olduğunu savunmuyorum. “Fayda” sözcüğünün kaldırılması ve insan ruhunun hür kılınması için çaba sarf ediyorum. Bu uğurda bir kısım deli saçmalarını serbest dolaşıma sokacağız. Ya da zor kazanılmış mali kaynakları heba edeceğiz. Ancak burada son derece önemli olan şey insan zihninden prangaları çıkartıp onu bir yandan Hale, Rutherford, Einstein ve akranlarını günümüzde trilyonlarca kilometre uzayın derinliklerine götüren ve diğer yandan atoma hapsolmuş sınırsız enerjiyi serbest bırakan maceralara yelken açmak için hür kılmaktır. Bohr ve Millikan gibi Rutherford ve diğerlerinin atomun yapısını anlamak amacıyla büsbütün meraktan ötürü gösterdiği çaba insan hayatını dönüştürebilecek kuvvetleri serbest bırakmıştır. Lakin bu nihai ve öngörülemez ve kestirilemez pratik sonuç, Rutherford, Einstein, Millikan, Bohr veya onların diğerler akranları için asla bir tezkiye olarak sunulmamıştır. Onları kendi haline bırakın. Hiçbir eğitim idarecisi bu veya diğer insanların çalışacağı kanalları yönetemez. Kabul ediyorum, israf olan meblağ büyük görünmektedir. Ama aslında öyle değildir. Bakteriyoloji bilimi geliştirilirken israf olan toplam meblağ Pasteur, Koch, Ehrlich, Theobald Smith ve bir çok insanın keşiflerinden elde edilen avantajlara kıyasla hiçbir şeydir. Söz konusu avantajlar adı geçen bilim adamlarının zihinlerine olası fayda fikri nüfuz etmiş olsaydı asla elde edilemezdi. Bu büyük sanatkarlar (Adı geçen bilim adamları ve bakteriyologlar sanatkar değil de nedir?) sadece kendi doğal meraklarının yolunu takip ederek, laboratuvarlarına hakim olan ruhu yaymışlardır.

Mühendislik veya hukuk okulları gibi fayda ve yararlılık odaklı kurumları eleştirmiyorum. Durumun tersine döndüğü, sanayide ve laboratuvarlarda karşılaşılan pratik zorlukların teorik çalışmaları tetiklediği vakıalar hiç de nadir değildir. Söz konusu teorik çalışmalar, kendilerini öneren problemleri çözebilir veya çözemez, ancak halihazırda faydasız gibi gözüken ama gelecekteki pratik ve teorik kazanımlara gebe yeni dehlizler açabilir.

“Faydasız” veya teorik bilginin hızlı birikimiyle beraber, pratik sorunlarla bilimsel bir bakış açısıyla uğraşmayı gün be gün daha da mümkün kılan bir durum ortaya çıkmıştır. Sadece mucitler değil aynı zamanda “kuramsal” bilimle uğraşanlar da bu meşgaleyle kendilerini şımartmışlardır. Bir mucit olan Marconi’den daha önce bahsetmiştim. Bu zatın her ne kadar insan türüne faydası dokunmuş olsa da, o haddi zatında sadece “başka kişilerin fikirlerini alan bir kişidir.” Edison’u da aynı kategoride değerlendirebiliriz. Ancak Pasteur farklıdır. O harika bir bilim adamıydı ancak Fransız üzüm asmalarının durumu veya bira mayalama sürecinin sorunları gibi pratik sorunları çözmeye de karşı değildi. Hem sadece acil çözüm bekleyen pratik sorunu çözmekle kalmıyor, aynı zamanda pratik sorundan halihazırda “faydasız” ama daha sonra öngörülemeyecek bir biçimde “yararlı” bir kısım geniş kapsamlı teorik çıkarsamalara da varabiliyordu. Ehrlich, merakından ötürü kökten kuramsal bir bilim adamı sıfatıyla, frengi sorununa yoğun bir şekilde eğilmiş ve azimle pratik faydası olan bir tedavi (yani salvarsan adlı kimyasal madde) bulunana değin onunla uğraşmıştır. Şeker hastalığının tedavisinde kullanılmak üzere Bantig tarafından insülinin ve pernisyöz anemi tedavisinde kullanılmak üzere Minot ve Whipple tarafından karaciğer özütünün keşfi aynı kategoriye dahildir. Her iki keşif de, çalışmalarının pratik sonuçlarını umursamayan insanlar tarafından üretilmiş epeyce “faydasız” bilginin biriktiğini ama bilimsel bir şekilde pratik amaçlı soruların da sorulmasının zamanının geldiğini fark eden, kelimenin gerçek anlamıyla bilim adamları tarafından yapılmıştır.

Dolayısıyla, bilimsel buluşu bir kişiye tamamen atfetmek konusunda ihtiyatlı davranılması gerektiği açıktır. Neredeyse her keşfin uzun ve kırılgan bir geçmişi vardır. Kimi burada, ötekisi şurada bir parçayı keşfeder. Üçüncü bir adım öncekileri takip eder ve bu süreç ta bir dahinin parçaları birleştirip belirleyici katkıyı yapmasına değin devam eder. Bilim, tıpkı Mississippi Nehri gibi, uzak bir ormanda ufak bir dere olarak başlar. Yavaş yavaş diğer akarsular debisini şişirir. Ve böylece bentleri kükreyerek yıkan ırmak, sayısız kaynaklardan oluşmuş olur.

Konunun bu yönüne çok kapsamlı bir biçimde eğilmem mümkün değil, ancak şunu söylemekle yetinelim: bir ya da iki asırlık bir dönem zarfında mesleki okulların kendilerini ilgilendiren faaliyetlere katkıları, muhtemelen yarın mesleğini icra eden mühendislerin, avukatların veya doktorların yetiştirilmesinde değil de, kesin bir biçimde pratik hedeflerin peşinde koşarken dahi, daha çok devasa ölçekte sureten faydasız faaliyetlerin yürütülmesinde yatacaktır. Bu faydasız faaliyetlerin içinden, söz konusu okulların elde etmek amacıyla kurulduğu faydalı hedeflere kıyasla, insan zihnine ve ruhuna sonsuz derecede yararlı olduğu ortaya çıkabilecek keşifler çıkacaktır.

Değindiğim hususlar spiritüel ve entelektüel hürriyetin devasa önemini, eğer bir vurguya ihtiyaç varsa, vurgulamaktadır. Deneysel bilimden ve matematikten söz ettim. Ancak sözlerim müzik ve sanat ile hür insan ruhunun diğer her türlü ifade tarzı için de eşit derecede geçerlidir. Bu uğraşıların kendi arınmasına ve irtifa kazanımına eğilmiş münferit bir ruha doyum sağlamaları, ihtiyaç duyacakları yegane tezkiyedir. Ve bunları savunurken asli ya da zımni hiçbir biçimde fayda ve yarara atıfta bulunmayarak, kolejlerin, üniversitelerin ve araştırma enstitülerinin de varlık sebeplerini savunmuş oluyoruz. Peş peşe nesiller boyu insan ruhunu hür bırakan bir kurum şu veya bu mezununun insani bilgiye sözde faydalı katkı yapıp yapmadığına bakılmaksızın yeteri derecede tezkiye edilmiştir. Üniversitelerin, kolejlerin ve araştırma enstitülerinin ihtiyaç duyacağı tüm tezkiye bir şiirin, senfoninin, resmin, matematiksel bir doğrunun ve yeni bir bilimsel olgunun zatında mündemiçtir.

Tartıştığım konunun kendine özgü dokunaklı bir yanı da var. Bugün, Almanya ve İtalya gibi bazı geniş bölgelerde insan ruhunun özgürlüğünü kısıtlamak için özel bir çaba gösterilmektedir. Üniversiteler, özel bir siyasi, iktisadi veya ırksal hizbe inananların araçları olacak şekilde yeniden organize edilmiştir. Bu dünyada geride kalan birkaç demokrasiden birinde düşüncesiz bir birey bile, mutlak manada sınırsız akademik özgürlüğün temel önemini sorgulayacaktır. Haklı ya da haksız olsun, insan türünün hakiki düşmanı korkusuz ve sorumsuz mütefekkir değildir. Hakiki düşman bir dönem Büyük Britanya ve Birleşik Devletler’in yanı sıra İtalya ve Almanya’da da pervaz ettiği gibi, bir daha kanatlarını açmaya dahi cür’et edemeyecek şekilde insan ruhunu şekillendirmeye çalışan kişidir.

Bu özgün bir fikir değil. Napolyon’un Almanya’yı fethi sırasında, Berlin Üniversitesi’ni tasarlamış ve kurmuş olan von Humboldt’un da hayata geçirdiği fikir buydu. Johns Hopkins Üniversitesi’nin kuruluşunda Mütevelli Heyeti Başkanı Gilman’ı tahrik eden ve daha sonra bu ülkedeki her üniversitenin kendini yeniden yaratmak için az ya da çok peşinden koştuğu fikir de budur. Kendi baki ruhuna değer veren her bireyin, şahsi sonuçları ne olursa olsun doğru addedeceği fikirdir bu. Bununla birlikte spiritüel hürriyetin savunusu, ister fen bilimlerinde isterse de insani bilimlerde, orijinalliğin çok ötesine gider. Zira insanlar arasındaki farklılıklara karşı bir hoşgörüyü de beraberinde getirmektedir. İnsanlık tarihi karşısında ırk veya din üzerine bina edilmiş sempati veya antipatiden daha budalaca ve saçma ne olabilir? İnsanlık, senfonileri, yağlı boya çalışmalarını ve derin bilimsel gerçekleri mi talep etmektedir yoksa Hristiyan-Yahudi senfonileri, yağlı boya çalışmalarını ve bilimi ya da insan ruhuna İslami, Mısırlı, Japon, Çinli, Amerikan, Alman, Rus, veya komünist veya muhafazakar katkıları ve o ruhun bu tarzlarda ifadelerini mi istemektedir?

IV

Yabancılara karşı tolerans yoksunluğunun en çarpıcı ve en yakın sonuçlarından birisi olarak zannedersem Bay Louis Bamberger ve kardeşi Bayan Felix Fuld tarafından Princeton, New Jersey’de kurulan İleri Araştırmalar Enstitüsü’nün hızlı gelişimini göstermem doğru olur. Bahsi geçen Enstitü’nün kuruluşu 1930’da önerilmiştir. Kurum, Princeton’da yerleşik olmasını kısmen kurucularının New Jersey Eyaleti’ne olan duygusal bağına borçlu. Ancak, benim anladığım kadarıyla, Princeton’ın en samimi işbirliğini mümkün kılan küçük ve yüksek kalitede bir yüksek lisans okulunu bünyesinde barındırması da başka bir sebep. Bu yüzden Enstitü’nün, Princeton Üniversitesi’ne hiçbir zaman tam anlamıyla takdir edilemeyecek bir borcu var. Enstitü’de çalışmalar, personelin önemli bir bölümünün oluşumuyla beraber 1933 yılında başladı. Öğretim üyesi kadrosunda en önde gelen Amerikan entelektüelleri vardı—Veblen, Alexander ve Morse, matematikçiler arasında; Meritt, Lowe ve Bayan Goldman insani bilimler departmanında; Stewart, Riefler, Warren, Earle ve Mitrany kamu yönetimi ve iktisatçılar arasında. Ve bunlara halihazırda Princeton Üniversitesi’nde, Princeton’ın kütüphanesinde ve laboratuvarlarında istihdam edilen, aynı kalitedeki entelektüeller ve bilim adamları da eklenmelidir. Şunu da belirtmek lazım: İleri Araştırmalar Enstitüsü’nün matematikte Einstein, Weyl ve von Neumann, insani bilimler sahasında Herzfeld ve Panofsky ve son altı yıldır bu müstesna grubun etkisinde kalmış ve ülkenin her bölgesinde çoktan Amerikan entelektüel yaşamını güçlendirmeye başlamış bir grup genç için, Hitler’e çok büyük bir borcu var.

Enstitü, organizasyon açısından, akla gelebilecek en basit ve resmiyet düzeyi en düşük kurumdur. Bünyesinde üç okul vardır: Matematik Okulu, İnsani Bilimler Okulu, İktisat ve Siyaset Okulu. Her okul daimi bir profesör grubundan ve yıllık bazda değişen üyelerden oluşur ve kendi iç işlerini istediği gibi yönetir. Gruplardaki tüm bireyler kendi zaman ve enerjilerini dilediği gibi harcar. Halihazırda yirmi iki ülkeden ve Birleşik Devletler’de bulunan otuz dokuz yüksek öğrenim kurumundan gelen üyeler, birkaç grup tarafından liyakate haiz addedilmeleri halinde, kuruma kabul edilirler. Kesinlikle profesörlerinkiyle aynı hür çalışma ortamının tadını çıkarırlar. Aralarındaki düzenlemeye göre, şu veya bu profesörle birlikte çalışabildikleri gibi, zaman zaman yardım etmesi muhtemel kişilerin görüşlerine başvurarak yalnız da çalışabilirler. Takip edilecek hiçbir prosedür, profesörler, üyeler ve ziyaretçiler arasına çekilmiş hiçbir çizgi yoktur. Princeton öğrencileri ve profesörleriyle Enstitü üyeleri ve profesörleri birbirlerinden ayırdedilemeyecek ve hür bir biçimde kaynaşmıştır. İşte böyle bir süreçle öğrenme yeşertilir. Birey ve topluma olan neticeleri kendi hallerine bırakılmıştır. Hiçbir fakülte toplantısı yapılmadığı gibi hiçbir komite de mevcut değildir. Dolayısıyla düşünce üretebilecek kişiler, yansıma ve müzakereye elverişli koşullardan faydalanır. Matematikçi dikkati dağılmadan matematiğini yeşertirken, insani bilimler, iktisat veya siyaset sahalarında çalışanlar da kendi branşlarında benzeri ilerlemeyi kaydederler. İdare, boyut ve önem olarak en aza indirgenmiştir. Enstitü, fikirlere odaklanma gücü olmayan, düşünce üretmeyen insanların barınağı değildir.

Birkaç örnekle belki bu noktayı daha da açıklığa kavuşturabilirim. Bir Harvard profesörünün Princeton’a gelmesini mümkün kılmak amacıyla ona bir burs verilmişti. Gönderdiği mektupta sormuş:

“Vazifelerim nelerdir?”

Cevaben dedim: “Hiçbir vazifeniz yok—sadece fırsatlar var.”

Princeton’da bir yıl geçiren yetenekli ve genç bir matematikçi benimle vedalaşmaya geldi. Ayrılmak üzereyken, şöyle dedi:

“Belki bu yılın benim için ne manaya geldiğini bilmek istersiniz.”

“Evet.” diye cevapladım.

“Matematik,” diye devam etti, “çok hızlı gelişiyor. Mevcut literatür çok büyük. Doktora diplomamı alalı on yıl oluyor. Bir süreliğine kendi konumdaki gelişmeleri takip edebildim. Ama son zamanlarda bu artan bir biçimde zorlaşmaya ve belirsiz olmaya başlamıştı. Şimdi, burada bir yıl geçirdikten sonra, körelen kısımlarım bileylendi, odam aydınlandı ve pencerelerim açıldı. Kafamda, kısa bir zaman zarfında yazmayı planladığım iki makale var.”

“Bu halin ne kadar sürer?” diye sordum.

“Beş, bilemediniz on yıl.”

“Ya sonra?”

“Buraya geri dönerim.”

Üçüncü bir örnek ise son zamanlarda yaşandı. Geçtiğimiz Aralık ayı sonlarında büyük bir Batılı üniversiteden bir profesör Princeton’a geldi. Princeton Üniversitesi’nden Profesör Morey ile birlikte çalışmayı aklında kurgulamıştı. Ancak Morey ona Enstitü bünyesinde çalışan Panosfky ve Swarzenski ile görüşmesini salık verdi. Şimdi üçüyle de beraber çalışıyor.

“Gelecek Ekim’e kadar burada kalacağım.” diyor aynı şahıs.

“Yaz ortasında buralar epey sıcak olur.” dediğimde bana “Sıcağı fark edemeyecek kadar meşgul ve mutlu olacağım.” diye yanıt verdi.

Görüldüğü gibi serbestiyet durağanlıktan ziyade, aşırı çalışma tehlikesini doğuruyor. Bunu, İngiliz bir üyenin hanımının yakın zamanda bana yönelttiği şu sorudan da anlayabilirsiniz:

“Buradaki herkes sabah saat ikiye kadar çalışıyor mu?”

Enstitü’nün bugüne kadar hiçbir binası olmadı. Halihazırda matematikçiler Fine Hall’da Princeton’daki meslektaşlarına misafirlik ediyor; insani bilimler sahasında çalışanların bir kısmı McCormick Hall’da Princeton’daki meslektaşlarına konuk olmuş durumda; diğerleri ise şehir sathına saçılmış ofislerde çalışmakta. İktisatçılar ise Princeton Inn otelinde bir suit odayı işgal etmiş durumdalar. Benim kendi makamım ise, esnaf, dişçi, avukat, masör ve yerel idare anketi ve popülasyon çalışması yürüten Princeton’lı entelektüel gruplarının arasında, Nassau Sokağı’nda yerleşik bir iş hanında bulunmaktadır. Altmış küsur yıl önce Baltimore’da Mütevelli Heyet Başkanı Gilman’ın da kanıtladığı gibi, tuğla ve harç pek de elzem değil. Bununla beraber birbirimizle kurduğumuz gayrı resmi teması özlüyoruz ve bu kusuru kurucular tarafından inşa edilecek Fuld Hall adlı bir binayla gidermeye hazırlanıyoruz. Ancak resmiyet daha da ileriye gitmeyecek. Enstitü küçük kalmalı. Enstitü Grubu’nun eğlence, güvenlik, organizasyon ve prosedürden serbestiyet ve nihayet Princeton’daki ve zaman zaman uzak yerlerden Princeton’a çekilebilecek diğer üniversitelerin bünyesindeki entelektüellerle gayrı resmi temasları istediği görüşüne Enstitü sıkı sıkıya bağlı kalacaktır. Söz konusu yabancı entelektüeller arasında Kopenhag’dan Niels Bohr, Berlin’den von Laue, Roma’dan Levi Civita, Strazburg’dan André Weil, Cambridge’den Dirac ve G. H. Hardy, Zürih’ten Pauli, Louvain’den Lemaitre, Oxford’dan Wade-Gery ve Harvard, Yale, Columbia, Cornell, Johns Hopkins, Chicago, California Üniversiteleri ve diğer aydınlanma ve öğrenim merkezlerinden Amerikalı bilim adamları var.

Kendimize hiçbir vaatte bulunmamakla birlikte, engellenmeden faydasız bilgi peşinde koşmanın geçmişte olduğu gibi gelecekte de olumlu sonuçları olacağı umudunu taşıyoruz. Bununla birlikte, bir an için dahi Enstitü’nün varlığını bu gerekçeyle savunmuyoruz. Tıpkı şairler ve müzisyenler gibi, istediklerini yapma hakkını kazanan ve bunu gerçekleştirdiklerinde azami başarıyı elde eden bilim adamları için Enstitü, bir cennet olarak varlığını sürdürmektedir.