Allahsız AYT böyle soru mu olur, dedim

Soru: Düşey kesiti şekildeki gibi olan kapta $2h$ yüksekliğinde su vardır. Özdeş $K$ ve $L$ muslukları aynı anda açılıyor. Kaptaki suyun tamamı boşalıncaya kadar $K$ musluğundan akan suyun kütlesi $m$ olduğuna göre, $L$ musluğundan akan suyun kütlesi için ne söylenebilir?

A. $m$ ile $2m$ arasında
B. $2m$
C. $2m$ ile $3m$ arasında
D. $3m$
E. $3m$'den fazla

---

Çözüm: Bu soruyu bir AYT hazırlık kitabında gördüm ve yerölçüsü blogu için genişleterek çözmenin epey aydınlatıcı olacağını düşündüm. Soruyu çözerken takip edilecek brüt kuvvet stratejisi önce $K$ ve $L$ vanalarından tahliye edilen su miktarlarını hesaplayıp daha sonra bunları oranlayarak bir mukayese yapmayı önerir. Benim de aklıma ilk gelen strateji buydu ve çözümde karşıma çıkan integral denklem vb üniversite düzeyi analiz yaklaşımlarından dolayı hem kendimden şüpheye düştüm hem de postanın başlığında olduğu gibi tepki verdim.

Soruda belirtilmemiş -ki genelde soru bankası tipi kitaplarda problemi belirsizliklere mahal vermeyecek derecede anlamamızı temin eden böyle sıkıcı ayrıntılar hep ihmal edilir- ama bizden bazı varsayımlarda bulunmamız bekleniyor. Örneğin suyun sıkıştırılamayacağını, tahliye vanalarındaki su akış hızının vanadaki su basıncıyla doğru orantılı olduğunu varsayacağız. Dahası vanalar özdeş olduğu için su basıncıyla vanadan su akış hızı arasındaki orantı sabitinin her iki vanada aynı olduğunu kabul edeceğiz.

Şekle referansla $t$ anında tanktaki su seviyesi $2h-x(t)$ olsun. $x(0)=0$ başlangıç şartıyla yapacağımız analiz $0 \leq x \leq h$ için geçerlidir. Bu süre zarfında $K$ vanasından tahliye edilen su kütlesi $m_{K}(t)$, $L$ vanasından tahliye edilen su kütlesi ise $m_{L}(t)$ fonksiyonlarıyla verilsin. Bu fonksiyonlar için de bariz olan başlangıç şartı $m_{K}(0)=m_{L}(0)=0$ olur. $K$ vanasından su akışının durduğu ana $t_{K}$ diyelim. O zaman barizdir ki $x(t_{K})=h$ olur. Nihayet vanalardan kütle/zaman boyutundaki akış hızıyla vanadaki su basıncı arasındaki orantı sabitine $\alpha$ diyelim.

Yukarıdaki tanımlar ve hidrolik basınç formülü kullanıldığında vanalardaki su akış hızları aşağıdaki gibi olur.

$$\begin{equation*} v_{K}(t) := \alpha \rho g (h - x(t)) \ \ \ {\rm ve} \ \ \ v_{L}(t) := \alpha \rho g (2h - x(t)) \end{equation*}$$ Burada $\rho$ suyun yoğunluğunu, $g$ ise yerçekimi ivmesini temsil etmektedir. Yine tanımları kullanarak $t$ anında vanalardan tahliye edilen toplam su miktarı için $$\begin{eqnarray} \nonumber m_{T}(t) &:=& m_{K}(t) + m_{L}(t) \\ \nonumber &=& \int\limits_{0}^{t}v_{K}(s)ds + \int\limits_{0}^{t}v_{L}(s)ds \\ \nonumber &=& \alpha \rho g \int\limits_{0}^{t} (3h - 2x(s)) ds \end{eqnarray}$$ yazabiliriz. $t=0$ anında tanktaki toplam su kütlesi $M$ olsun. O zaman yine şekle referansla $$\begin{equation*} m_{T}(t) = M \frac{x(t)}{2h} \end{equation*}$$ olur. Elde ettiğimiz son iki denklem aynı niceliği tanımlıyor. Bunları birbirine eşitleyip yeniden düzenlediğimizde, çözüldüğünde $x(t)$ fonksiyonunu veren bir integral denklemi çıkmaktadır. $$\begin{equation*} x(t) = \frac{2\alpha \rho g h}{M} \int \limits_{0}^{t} (3h - 2x(s)) ds \end{equation*}$$ Bu integral denklem soruyu çözerken bir yerlerde strateji hatası yaptığımızı ve başa dönüp başka bir kurguyla soruya yaklaşmamız gerektiğinin belirtisidir aslında...

Daha genel integral denklemlerini çözmeyi pek bilmiyorum ama neyse ki bu en basitlerinden. Her iki tarafın zamana göre türevini aldıktan sonra bir tam diferansiyel elde etmeye çalışalım.

$$\begin{equation*} \frac{dx(t)}{dt} = \frac{4\alpha \rho g h}{M} \left( \frac{3h}{2} - x(t) \right) \ \Rightarrow \ \frac{1}{\frac{3h}{2} - x(t)} \frac{dx(t)}{dt} = \frac{4\alpha \rho g h}{M} \ \Rightarrow \ \frac{d}{dt} \log \left( \frac{3h}{2} - x(t) \right) = - \frac{4\alpha \rho g h}{M} \end{equation*}$$ Burada $\log x := \int_{1}^{x} \tfrac{dy}{y}$ olduğunu hatırlatalım. Elde ettiğimiz toplam diferansiyelin $(0,t)$ aralığında integralini alır ve $x(0)=0$ başlangıç şartını kullanırsak aşağıdaki ara sonuç elde edilir. $$\begin{equation*} \log \frac{\tfrac{3h}{2}-x(t)}{\tfrac{3h}{2}} = -\frac{4\alpha \rho g h}{M} t \end{equation*}$$ Bu aşamada $x(t_{K}) = h$ tanımını kullanarak $K$ vanasının aktif olduğu süreyi kolayca hesaplayabiliriz. $$\begin{equation*} t_{K} = \frac{\log 3}{4} \frac{M}{\alpha \rho g h} \end{equation*}$$ Yine ara sonuçta her iki tarafın üstelini alarak $x(t)$ fonksiyonunun çözümünü tamamlayabiliriz. $$\begin{equation*} \boxed{ x(t) = \frac{3h}{2} \left\{ 1 - \exp \left( - \frac{4 \alpha \rho g h}{M} t \right) \right\} } \end{equation*}$$

Sorunun zor kısmı bitti ama işlem hammaliyesi olan kısmlar hala devam ediyor. Tanım gereği

$$\begin{equation*} m := m_{K}(t_{K}) = \int\limits_{0}^{t_{K}} v_{K}(t)dt = \alpha \rho g \int\limits_{0}^{t_{K}} (h-x(t))dt \end{equation*}$$ olur. Sevgili ziyaretçi, çorbada senin de tuzunun bulunması için, kutu içinde $x(t)$ için türettiğimiz formülü bu integralde yerine koymanı, integrali almanı ve işlem hatası yapmadan bir alıştırma olarak aşağıdaki sonuca ulaşmanı bekliyorum. $$\begin{equation*} m = \frac{2 - \log 3}{8} M \end{equation*}$$ $L$ vanasından tahliye olan toplam su kütlesi barizdir ki $M-m$ ya da $\tfrac{6+\log 3}{8} M$ kadardır. O zaman aradığımız oran $$\begin{equation*} \frac{M-m}{m} = \frac{6 + \log 3}{2 - \log 3} \approx 7,875204 \end{equation*}$$ olur. Cevap gönül rahatlığıyla E :-)

Ödev: $\alpha$ sabitinin SI sisteminde birimi nedir?

Yorum: AYT soru bankasını hazırlayan problem çıkarıcıların aklındaki çözüm muhtemelen bu değildi... Zannımca onlar şöyle düşünmemizi bekiyorlardı. Tankın alt yarısı, yani $M/2$ kadar kütle, kesinlikle $L$ vanasınca tahliye edilecektir. O zaman tankın üst yarısının tahliyesi esnasında $L$ vanasındaki basınç daima $K$ vanasındaki basınçtan büyük kaldığı için, tankın üst yarısının boşlatılması esnasında $L$ vanası $K$ vanasından daha fazla su tahliye edecektir. Diğer bir deyişle $K$ vanası su tahliye işinde üst yarının yarısından da az su boşaltacaktır. O zaman $m < \tfrac{M}{4}$ ve $M-m > \tfrac{3M}{4} > 3m$ olur. Ama işte bu çözüm ilk bakışta benim aklıma gelmedi!