Kaynar suya atılan bir paket makarna, tencerenin sıcaklığını aniden düşürür ancak tencerenin tekrar kaynaması su miktarından bağımsızdır... yani 7 varsayım altında

Her insan mutfakta angaryaya koşulmuşken bir aydınlanma yaşayabilir. Bu da onlardan birisi.

Soru: 1 nolu tencerede $V_{1}$, 2 nolu tencerede ise $V_{2}$ hacımlarında ve genelliği kaybetmeden $V_{1} \geq V_{2}$ olacak şekilde su kaynamaktadır. Her ikisine de eşit kütleli bir paket makarna atılınca su aniden kaynama noktasının altına düşüyor. Tencereler özdeş ocaklarda ısıtılmaya devam ettiğine göre, hangi tencere kaynama noktasını önce yakalar? Soruyu çözmek için termodinamik bir model kurunuz ve yaptığınız varsayımları izah ediniz.

Bu masum görünümlü sorunun dörtbaşı mamur çözümü tabii ki korkunç ve kısmi diferansiyel denklemlere başvurmadan ve ancak bazı deneylerle tayin edilebilecek termodinamik fonksiyonlar kullanılmadan yapılamaz. Bu yüzden sorunu sadeleştirmek için bazı varsayımlarda bulunacağız.

Varsayım 1: Yemeğin pişirildiği tencerenin ısı iletiminin kabaca tek yönlü olduğunu varsayacağız. Yani sistem ocaktan enerji alırken dışarıya bir ısı kaybı yaşamamaktadır. Böylesi bir varsayım rüzgarsız, havalandırmasız ve Temmuz ayında iş gördüğümüz bir mutfakta bir nebze geçerli olabilir ancak açık havada mangalda makarna pişirirken veya Ocak ayında soğuk bir mutfakta çalışırken son derece kötüdür.

Varsayım 2: Suyun yoğunluğuna $\rho$ diyelim ve bu yoğunluk değeri sıcaklıktan bağımsız olsun. Sıvı suyla ilgili yoğunluk değerlerine baktığınızda bu aslında fevkalade iyi bir varsayım.

Varsayım 3: Tencereler ısıtılırken buharlaşmadan dolayı kaybedilen su kütlesini ihmal edeceğiz. Tencerenin kapağı kapatılarak ve/veya su-hava arayüzünün yüzey alanını minimize eden tasarımlar kullanılarak bu varsayıma riayet edebiliriz. Zira su sadece arayüzden kaybedilir.

Varsayım 4: Suyun, boyutu enerji $\times$ kütle$^{-1}$ $\times$ sıcaklık$^{-1}$ olan sabit basınç altındaki ısı kapasitesine $C_{\rm s}$ diyeceğiz ve bu değerin sıcaklıkla fazla değişmediğini varsayacağız. Yine termodinamik tecrübe bunun da o kadar kötü bir varsayım olmadığını söylüyor.

Varsayım 5: Makarnanın kütlesine $m$, ısı kapasitesine $C_{\rm m}$ diyelim ve o da 4. varsayıma tabi olsun. Bu varsayım muhtemelen modelin en zayıf halkasıdır ve deneysel olarak sınanması gerekir.

Varsayım 6: Tencere içeriğinin hem su-makarna dağılımı hem de bir skaler alan fonksiyonu olarak sıcaklık yönünden homojen olması gerekiyor ki kısmi diferansiyel denklemler ayak altında dolanmasın. Tencereler çok büyükse bu varsayıma uymaları için iyi karıştırılmaları gerekir.

Varsayım 7: Yemek yaptığımız ocak sabit hızda ısı veriyor ve kimse ocağın ayarıyla oynamıyor.

Çözüm: Oda sıcaklığı $T_{\rm o}$, suyun kaynama noktası $T_{\rm b} > T_{\rm o}$ olsun. Makarna atılır atılmaz 1 nolu tencerenin düştüğü nihai dip sıcaklığa $T_{1}$ diyelim. Bu durum için yukarıdaki varsayımlar altında termodinamiğin birinci kanununu şöyledir.

$$\rho V_{1} C_{\rm s} (T_{1} - T_{\rm b}) + m C_{\rm m} (T_{1} - T_{\rm o}) = 0$$ Denklemi $T_{1}$ için çözdüğümüzde aşağıdaki kalabalık formüle ulaşırız. $$T_{1} = \frac{\rho V_{1} C_{\rm s}T_{\rm b} + m C_{\rm m}T_{\rm o}} {\rho V_{1} C_{\rm s} + m C_{\rm m}}$$ Benzer işlemleri 2 nolu tencere için de yinelediğimizde $$T_{2} = \frac{\rho V_{2} C_{\rm s} T_{\rm b} + m C_{\rm m}T_{\rm o}} {\rho V_{2} C_{\rm s} + m C_{\rm m}}$$ bulunur.

Her iki sıcaklık değerini de parametre kalabalığından kurtarmak ve işlem hatası riskini en aza indirmek için $\alpha := m C_{\rm m} / \rho V_{1} C_{\rm s}$ ve $\kappa_{2} := V_{2}/V_{1} \leq 1$ ve $\kappa_{1}:= V_{1}/V_{1} = 1$ niceliklerini tanımlayalım. O zaman

$$T_{1} = \frac{\kappa_{1} T_{\rm b} + \alpha T_{\rm o}}{\kappa_{1} + \alpha} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ T_{2} = \frac{\kappa_{2} T_{\rm b} + \alpha T_{\rm o}}{\kappa_{2} + \alpha}$$ olur.

Çözümün kilit basamağı tencerelerin tekrar kaynama noktasına gelmeleri için geçen süreyle bu esnada almaları gereken ısının doğru orantılı olduğunu görmek. Bahsi geçen ısı değerlerini hesaplayalım.

$$\begin{eqnarray} \nonumber q_{1,2} &:=& \rho V_{1,2} C_{s} (T_{\rm b} - T_{1,2}) + m C_{\rm m} (T_{\rm b} - T_{1,2}) \\ \nonumber &=& m C_{\rm m} (T_{\rm b} - T_{\rm o}) \end{eqnarray}$$ Aradaki basamaklar okura alıştırma olarak bırakılmıştır. $q_{1,2}$ ısılarının iki tencere arasındaki tek fark olan hacım değerlerinden bağımsız çıkması her iki tencerenin de yeniden kaynama noktasına gelmek için aynı miktarda ısı alması gerektiğini söylüyor. Problemimizin en counterintuitive sonucu bu.

Ödev 1: Yukarıdaki varsayımlar altında hiç işlem yapmadan da bu problemin çözülebileceğini gösteriniz.

Ödev 2: 5. varsayımı biraz gevşetelim ve makarnanın ısı kapasitesi sıcaklığa bağlı, integrallenebilir ve pozitif değerli bir fonksiyon $C_{\rm m} := \gamma (T)$ ile verilsin. Sonuç değişir miydi?