Siz yanlışsınız da ne demek? Biz Arabız!

Mühendislik fakültesine hemen hemen her sene genel kimya dersi veririm. Bu seneki sınıfım 100+ kişilik ve bir hayli kalabalık. Öğrencilerin derse odaklanmalarını tazelemek ve cep telefonlarına ve sosyal medyaya gömülü zihinlerini dünyaya geri getirmek için zaman zaman onların tuhafına gidecek sorularla tabiri caizse sınıfı gıdıklamayı deniyorum. Geçen haftaki dersimde de yine rastgele bir öğrenciyi kaldırdım ve ona Oksijenin Arapça'sı nedir diye sordum? Şans bu ya, o öğrenci de Arapmış. Uksicin dedi. Ona yanlış olduğunu söylediğimde Siz yanlışsınız da ne demek? Biz Arabız! diye karşılık vermesin mi? Daha sonra bütün amfiyi dolduran bir kahkaha, gülüşmeler. Öğrenciler ve ben toparlandıktan sonra tahtaya (benim bildiğim) oksijenin Arapça'sını yazdım: muvellidul humuza. Başka bir Arap öğrenciye de bu kelimenin ne anlama geldiğini sordum.

Oksijene oksijen adını koyan kişi modern kimyanın babası kabul edilen ve kütle korunumu kanununun kaşifi Lavoisier'dir. Eski kimyacılar kendi dönemlerinde inceledikleri asitlerin hepsinin yapısında oksijen olduğunu farketmiş ve bir yanlışlık sonucu asitliği oksijene nisbet etmişler. Dolayısıyla ekşiliği üreten manasında bu terimi kullanmayı tercih etmişler. Bugün ekşiliği/asitliği üretenin oksijen değil de suya H⁺ katyonunun salınması olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla oksijenin ismi -aramızda kalsın- aslında düpedüz yanlış! Humuza da ekşiliğin Arapça'daki karşılığı. Muvellidul humuza ise bugün Araplar'ın dahi terkettiği bir kullanım oluyor.

Hayır, Arapça bilmiyorum. Ben bu kelimeye eski Türkçe kaynaklarda rastladım ve aklımda kalmış. Demek ki Osmanlı'nın son dönemlerinde bazı aydınlar yabancı dillerden gelen kelimeleri olduğu gibi almıyorlar, onun etimolojisini irdeledikten sonra, uygun bir Osmanlıca karşılık türetiyorlardı. (Öte yandan pek çok kelimenin de olduğu gibi alındığı malumdur.) Dünyada hemen hemen herkes oksijeni bilir ama çoğu insan oksijenin kelime olarak ne anlama geldiğinden, onun hikayesinden tamamen habersizdir. Bu kuşkusuz kötü bir şey. Köksüzlüğü onaylayacak halimiz yok...

Rahmetli Oktay Sinanoğlu'nun Fizikokimya Terimleri Sözlüğü ya da benzer bir adla yayımlanmış bir kitapçığına doktora öğrencisi iken rastgelmiştim. Orada Sinanoğlu, tıpkı son dönem Osmanlı aydınlarının oksijene muvellidul humuza adını yakıştırmaları gibi, kendisi bilimsel terimlere etimolojilerine inerek ve Eski Türkçe'deki karşılıklarını arayarak yeni deyişler öneriyordu. Kendim İngilizce eğitim aldım ve hep İngilizce konuşulan ortamlarda mesleğimi icra ettim. Dolayısıyla nicem kimyası, kıvıl devim bilim gibi terimler yerine kuantum kimyası ve elektrodinamik benim kulağıma daha uygun idi. Sinanoğlu'nun çalışmasını o zaman benimsememiştim.

Bugün de benimseyebileceğimi zannetmiyorum. Dil, mantık ve yöntemle gelişmiyor. Maalesef bu böyle. Siz dünyanın en makul yöntemiyle yabancı terimlerin etimolojisine en uygun kelimeyi kendi diliniz içinde üretiyorsunuz. Ne Araplar muvellidul humuzayı benimsiyor, ne de Türkler kıvıl devim bilimi.

Daha sonra Hidrojenin Arapça'sı nedir? diye sordum. Arap öğrencim Ben şimdi bu soruya cevap vermeye çekiniyorum. dedi. Ve ikinci bir kahkaha dalgası. (Evet, hidrojene hidrojen adını da Lavoisier koymuş.)

Vüdumuza açık havada etki eden net basınç-kuvveti ne kadar?

Basınç kavramını ortaokuldan beri biliyoruz: Birim yüzeye etki eden dik kuvvet. Yüzeye etki eden kuvvet, eğer bu yüzeye dik değilse, o zaman kuvvetin yüzeye dik olan birim vektör doğrultusundaki bileşenini alıyoruz ve öyle hesaplıyoruz basıncı. Birim yüzey normaline $\mathbf{n}$, bu yüzeye etki eden kuvvete $\mathbf{F}$ ve yüzey alanına $\Delta S$ dersek, o zaman yüzeye etki eden basınç \begin{equation} p := - \frac{\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}}{\Delta S} \end{equation} formülü ile hesaplanılır. Eksi işareti var çünkü yüzeye etki eden dik kuvvetle, yüzey normali dediğimiz vektörler zıt yönlü. Bu formülü tersinden düşünmek de mümkün. Denge dış basıncının $p$ olduğu bir ortamda o yüzeye etki eden net kuvvet \begin{equation} \mathbf{F} = - p \mathbf{n} \Delta S \end{equation} ile verilir.

Eğer yüzey düz değilse, mesela bir insan vücudu veya bir amib gibi eğik ise, o zaman bu eğik yüzeyin her bir noktasında yüzey normali farklı yöne bakacaktır. Mesela küre yüzeyinde, yüzey normali merkezden yüzey noktasına çizilen yarıçap vektörü ile aynı doğrultudadır. Böyle durumlarda söz konusu yüzeyi tıpkı kartograflar gibi küçük dörtgensel bölgelere böler, her bir dörtgensel bölgeye etki eden tipik vektörel kuvveti kestirir ve nihayet bu kuvvetlerin vektörel toplamını alarak katı cisime etki eden net kuvveti hesaplarız. 3 boyutlu katı cismin kapladığı noktasal kümeye $\Omega$, bu noktasal kümenin 2 boyutlu yüzeyine de $\partial \Omega$ diyelim. O zaman hesaplamaya çalıştığımız net kuvvet vektör analizinde çok iyi bilinen bir özellikle kolayca bir hacim integraline dönüştürülür. \begin{equation} \mathbf{F}_{\rm net} = - \iint _{\partial \Omega} p \mathbf{n} {\rm d}S = -\iiint_{\Omega} \mathbf{\nabla} p {\rm d}V \label{bi} \end{equation} Bu deklemin sağ tarafında yer alan hacim integralini $\Omega$ cismini küçük küplere bölüp, her küpün içerisinde $\mathbf{\nabla}p := (\partial p/\partial x ) {\mathbf i} + (\partial p/\partial y ){\mathbf j} + (\partial p/\partial z ){\mathbf k}$ vektörünün tipik bir değerini aldıktan ve küçük küplerin hacmiyle çarptıktan sonra toplayarak hesaplayabiliriz. $\mathbf{\nabla} p$ fonksiyonuna basıncın gradientı diyeceğiz. Gradient işlemisi, tanımlandığı şekliyle skaler alanlardan vektörel alanlar üreten bir işlemcidir.

Hidrostatik denge altında bazı varsayımlarda bulunabiliriz. Mesela atmosfer basıncının yaşadığımız ortamda sabit kaldığını söyleyebiliriz. O zaman $\mathbf{\nabla}p =0$ olur. Demek ki sabit gaz basıncı altında havada duran bir cisime (gaz basıncından dolayı) etki eden net kuvvet sıfırmış! Öte yandan basının yükseklikle değiştiği sıvı bir ortamda $p:=p(z)=-\rho g z$ olur. Burada $\rho$ sıvının sabit kaldığını varsaydığımız yoğunluğu, $g$ yerçekimi ivmesi ve $z < 0$ ise sıvı yüzeyine kıyasla bulunduğumuz derinliktir. Buradan $\mathbf{\nabla}p = -\rho g \mathbf{k}$ olması gerektiğini gözleyiniz. Ama basınç gradientı bir sabit çıktığından, hacim integralinin dışına alınabilir ve $\Omega$ bölgesinin hacim integrali de basitçe bu bölgenin hacmidir: $V_{\Omega}$. Toparladığımızda sıvı ortamda dengede bulunan bir cisime etki eden net kuvvet, Evreka! diyebiliriz, \begin{equation} \mathbf{F}_{\rm net} = \rho g V_{\Omega} \mathbf{k} \end{equation} ile verilir. Buna sıvıların kaldırma kuvveti diyoruz. Basınç gradientının olduğu her ortamda bir kaldırma kuvveti doğacağını gözleyiniz.

Gelelim yazının başlığındaki soruya. Açık hava basıncından dolayı vücudumuza ne kadar net kuvvet etki ediyor? Ayakta durduğumuzu varsayalım. O zaman ayak tabanlarımıza açık hava basıncı etki etmeyecektir. Ayak tabanlarımızın yüzeylerini $\partial \Omega_{1}$ ve vücut yüzeyimizin geri kalanını $\partial \Omega_{2}$ ile gösterirsek, o zaman vücudumuzun tamamı $\partial \Omega = \partial \Omega_{1} \cup \partial \Omega_{2}$ olur. Bariz ama yine de belirtelim $\partial \Omega_{1} \cap \Omega_{2} = \emptyset$. Bu durumda (\ref{bi}) nolu denklemde verilen yüzey integrali aşağıdaki gibi parçalanabilir. \begin{equation} \mathbf{0} = - \iint _{\partial \Omega_{1}} p \mathbf{n} {\rm d}S - \iint _{\partial \Omega_{2}} p \mathbf{n} {\rm d}S \end{equation} Bu integrallerden birisini hesaplamak çok kolay, ötekisi ise çok zor. $\partial \Omega_{1}$ yüzeyinin normali sabit ve $-\mathbf{k}$ olduğundan, basitçe \begin{equation} -p A \mathbf{k} = - \iint _{\partial \Omega_{2}} p \mathbf{n} {\rm d}S \end{equation} yazabiliriz. Bu denklemin sağ tarafında yazının başlığında hesaplamayı istediğimiz kuvvet var. Sol tarafındaki $A$ ise iki ayak tabanımızın toplam alanını temsil ediyor.

Sayıları yerine koyalım. Ayak tabanımızı uzunluğu 30 cm genişliği ise 12 cm olan bir dikdörtgen olduğunu varsayalım. O zaman $A=2 \times 12 \times 30 = 720$ cm² = $7,2 \times 10^{-2}$ m² olur. Açık hava basıncının 1 bar yani 100000 Pa olduğu bir ortamda, vücudumuza açık hava basıncından ötürü etki eden net kuvvet demek ki yere doğru 7200 N kadar olacak. Kütlesi 72 kg olan bir insanın ağırlığının yere doğru yaklaşık 720 N olduğunu göz önüne alırsak, bu hiç de azımsanamayacak bir kuvvettir. Öte yandan her ne kadar basınç kuvveti etki etmese de, yeryüzününün ayak tabanlarımıza uyguladğı tepki kuvveti hem ağırlığımızdan hem de hava basıncından doğan kuvvetlerin toplamını nötrleştirmeye yeterlidir. Öyle olmasaydı, atmosfer bizi yerin dibine geçirirdi!

Hemen belirtelim ki burada yaptığımız ve çok aşırı derecede iddialı bir varsayım var. İnsan bedenini katı bir cisim gibi düşündük. Halbuki cildimizin ve organlarımızın esneklikleri, lokal olarak gerilebilmeleri vb nedenlerden ötürü bu yaptığımız hesaplamaya ciddi derecede hata gelebilir. Model gerçekliğin karikatürüdür. diyenlerin kastettiği şey bu olsa gerek.

A rigorous explanation of Rüchhardt's approximation

The ingenious method of Rüchhardt (1929) determines the ratio of heat capacities of an ideal gas through elementary mechanics as an alternative to the well established methods of thermal physics. One can find the description of the method elsewhere on the net as well as in Zemansky's influential Heat and Thermodynamics. I was not satisfied by the exposition of the method in Zemansky and decided to present it in my own way.

Adiabats

The method relies neither the first nor the second laws of thermodynamics. We start with The Doctrine of Latent and Specific Heats which states that the instant heating of a thermodynamic system can be described by the following equation. \begin{equation} h(t) := \Lambda_{V}(T(t),V(t)) \dot{V}(t) + C_{V}(T(t),V(t)) \dot{T}(t) \label{doctrine} \end{equation} Here $\dot{x}(t)$ signifies the time derivative of $x(t)$, $\Lambda_{V}(T,V)$ is the latent heat function of the material, and the positive definite function $C_{V}(T,V)$ is the specific heat at constant volume. $t$, as always signifies time. All physical theories rely on the existence of an entity called state and in thermodynamics we assume that the state of a closed sytem can be described by two independent variables, say temperature and volume. The collection of all states is given by the set $\Sigma$ and we assume that $\Sigma$ is simply connected. A thermodynamic process can be represented by a (piecewise) differentiable curve in $\Sigma$. Thus the time parametric function $\mathbf{\alpha} : [a,b] \to \Sigma$ gives all the points $(T(t),V(t))$ of the path traced by a thermodynamic process as time runs from $a$ to $b$.

Among all processes, adiabatic ones stand out for two reasons: They are indispensible in the description of Carnot's heat engine as well as the experiments of Joule which ultimately gave us the second and first laws of thermodynamics, respectively. A process is adiabatic if, and only if, the instant heating function vanishes at all times. Set $h(t)=0$ and rearrange (\ref{doctrine}) to read \begin{equation} \frac{{\rm d}\psi(V)}{{\rm d}V} = -\frac{\Lambda_{V}(\psi(V),V)}{C_{V}(\psi(V),V)}. \label{adiabat} \end{equation} The solutions of the initial value problem (\ref{adiabat}) are called adiabats, they are signified by $T = \psi(V)$, and satisfy the initial condition $T_{\circ} = \psi(V_{\circ})$. The uniqueness of the solutions of ordinary differential equations guarantee that two adiabats either agree on all points in $\Sigma$ or they never cross.

A second hidden postulate of the founding fathers of thermodynamics was their relience on the existence of a pressure function $p=\varpi(T,V)$ that gives the equilibrium pressure of a material in state $(T,V)$. Pressure function is further assumed to satisfy the mechanical stability condition expressed by $\tfrac{\partial \varpi}{\partial V} < 0$. One can invert the functional relation $p=\varpi(T,V)$ to solve for volume $V=\varphi(T,p)$ and feed this to Eq. (\ref{doctrine}) to arrive at \begin{eqnarray}\nonumber h&=&\Lambda_{V}(T,V)\left\{ \frac{\partial V}{\partial T}\dot{T}+\frac{\partial V}{\partial p}\dot{p}\right\} + C_{V}(T,V)\dot{T}\\ \nonumber &=& \Lambda_{V}(T,V)\frac{\partial V}{\partial p}\dot{p} + \left\{ \Lambda_{V}(T,V)\frac{\partial V}{\partial T} + C_{V}(T,V)\right\} \dot{T} \\ &=:& \Lambda_{p}(T,V) \dot{p} + C_{p}(T,V) \dot{T} \end{eqnarray} where the specific heat at constant pressure is $C_{p}(T,V):=C_{V}(T,V)+\Lambda_{V}(T,V)\tfrac{\partial V}{\partial T}$ and $\Lambda_{p}$ is analogously defined. Obviously, if one plugs in $V=\varphi(T,p)$ to these relations then everything can be transformed to $Tp$ space.

A quantity that is of much interest to the studies of thermodynamics and fluid mechanics is the ratio of two heat capacities, $\gamma := C_{p}/C_{V}$. Clearly $\gamma = 1 + \tfrac{\Lambda_{V}}{C_{V}} \tfrac{\partial V}{\partial T}$. This can be exploited in Eq. (\ref{adiabat}) to read \begin{equation} \frac{{\rm d}\psi(V)}{{\rm d}V} = -(\gamma (\psi(V),V)-1) \frac{\partial T}{\partial V} (\psi(V),V) . \label{adiabat2} \end{equation} This equation is exact in the sense that it only postulates the validity of The Doctrine of Latent and Specific Heats and the existence of a pressure function of a mechanically stable material. Now we are in a position to state a bold and simplifying assumption which requires $\gamma$ to be a constant for an ideal gas. This adscititious hypothesis must be supported by experimental evidence and measurements suggest that for monatomic gases $\gamma \approx 5/3$. Since we are also working with an ideal gas fluid $\varpi(T,V) := K T/V$ where $K$ is a positive constant. Then $\tfrac{\partial T}{\partial V} = p/K = T/V$. Substitute this to Eq. (\ref{adiabat2}) to read \begin{equation} \frac{{\rm d}\psi(V)}{{\rm d}V} = -(\gamma -1) \frac{\psi(V)}{V} . \label{adiabatideal} \end{equation} Solution of (\ref{adiabatideal}) is an elementary exercise of calculus and left to the reader. It is \begin{equation} T = \psi(V) = \frac{T_{\circ}V^{\gamma-1}_{\circ}}{V^{\gamma-1}} \end{equation} By substituting $T = pV/K$ for an ideal gas one can represent the adiabat in $pV$ space more succinctly as \begin{equation} pV^{\gamma} = p_{\circ}V_{\circ}^{\gamma}. \label{adiabatcurve} \end{equation}

Rüchhardt's method

Rüchhardt's method can be described by the figure on the right which is taken from wikipedia. There is a spherical ball of mass $m$ and radius $r$ that just fits the glass pipe which is immersed into the vessel that encloses an ideal gas inside. Rüchhardt's assumptions are as follows: (1) The ball is frictionless and can move up and down in the pipe with no dissipation of its mechanical energy. (2) During the motion of the ball no gas escapes. (3) There is not enough time for the system to thermally equilibrate with its surroundings, ergo the entire process may be regarded as adiabatic if the duration of the experiment is not too long.

As a preliminary lemma we start by calculating the total (net) force acting on a half sphere which suffers a constant gas pressure $p$. It is agreed that the north pole of the sphere is aligned in $\mathbf{k}$ direction. We have ${\rm d}{\mathbf F} = -p {\mathbf {\hat{n}}}{\rm d}S$ where ${\rm d}S$ is the area element and $\mathbf{\hat{n}}$ is the unit normal to that area element. For a spherical surface of radius $r$ they are ${\rm d}S := r^{2}\sin \theta {\rm d}\theta {\rm d}\phi$ and $\mathbf{\hat{n}} := \sin \theta \cos \phi \mathbf{i} + \sin \theta \sin \phi \mathbf{j} + \cos \theta \mathbf{k}$. Then the net force acting on the half sphere can be calculated by an elementary exercise of calculus to read \begin{equation*} \mathbf{F} = -pr^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}{\rm d}\phi \int\limits_{0}^{\pi/2} {\rm d}\theta \sin \theta \mathbf{\hat{n}} = -p\pi r^{2} \mathbf{k} . \end{equation*} Note that due to the symmetry of the surface, only the vertical component of the net force is non vanishing.

At equilibrium let the internal pressure of the gas be $p_{\rm eq}$ and the atmospheric pressure which is constant throughout the experiment be $p_{\circ}$. Then the condition of mechanical equilibrium reads \begin{equation*} p_{\circ} \pi r^{2} + mg = p_{\rm eq} \pi r^{2} \end{equation*} which says that the pressure inside the vessel is slightly larger than the atmospheric pressure. Let the volume of the gas at equilibrium be $V_{\rm eq}$. If one moves the ball from equilibrium by a distance $z$, then the volume of the gas becomes $V = V_{\circ} + z \pi r^{2}$. Consequently, by the assumption of adiabaticity the gas pressure must change into \begin{equation*} p = p_{\rm eq}\frac{V^{\gamma}_{\rm eq}}{(V_{\rm eq} + z \pi r^{2})^{\gamma}} \approx p_{\rm eq} \left( 1 - \frac{z\pi r^{2}}{V_{\rm eq}}\right)^{\gamma} \approx p_{\rm eq} \left( 1-\gamma\frac{z\pi r^{2}}{V_{\rm eq}}\right) \end{equation*} where the assumption of small deviations $z\pi r^{2}/V_{\rm eq} \ll 1$ and application of well known Neuman series and Taylor approximations are used to linearize the pressure of the gas.

Upon the displacement of the ball the net force acting on it can be linearized accordingly. \begin{equation*} \mathbf{F}_{\rm net} = (p\pi r^{2} - mg - p_{\circ}\pi r^{2}) \mathbf{k} \approx p_{\rm eq} \left( 1-\gamma\frac{z\pi r^{2}}{V_{\rm eq}}\right)\pi r^{2}\mathbf{k} - p_{\rm eq} \pi r^{2}\mathbf{k} = -\frac{\gamma p_{\rm eq}\pi^{2} r^{4}}{V_{\rm eq}}z \mathbf{k} \end{equation*} It is time to invoke the second law of motion in the form $\mathbf{a} = \tfrac{1}{m} \mathbf{F}_{\rm net}$ where $\mathbf{a} := \ddot{z} \mathbf{k}$. Then the equation of motion for $z$ is \begin{equation} \ddot{z}(t) \approx -\frac{\gamma p_{\rm eq}\pi^{2} r^{4}}{mV_{\rm eq}}z(t) . \label{sho} \end{equation} Our efforts to linearize the gas pressure pays off and we recognize the equation of motion for a simple harmonic oscillator of natural frequency $\omega$ in Eq. (\ref{sho}) where \begin{equation} \omega :=\sqrt{\frac{\gamma p_{\rm eq} A^{2}}{mV_{\rm eq}}} \label{freq} \end{equation} and the cross section of the glass pipe is substituted as $A := \pi r^{2}$. Let the period of the oscillations be $\tau$. Then the relation $\omega = 2 \pi / \tau$ can be solved for $\gamma$ to read as follows. \begin{equation} \boxed{ \gamma = \frac{4 \pi^{2}mV_{\rm eq}}{p_{\rm eq}A^{2}\tau^{2}} } \label{ruchhardt} \end{equation} This is the Rüchhardt formula to measure $\gamma$ via the measurement of the period of oscillations of the spherical ball $m$.

In the desing of the experiments the laboratory worker needs a $\tau$ that is not too long for otherwise the neglected friction and leakage can become pertinent. Nor a very short $\tau$ makes the detection of a periodic motion feasable with human eye. For the optimal design we should chose the density $d := m/(\tfrac{4}{3}\pi r^{3})$ and the radius of the ball such that $\tau \sim 1$ s or so. Rearrange the Rüchhardt formula to express the period of the motion as \begin{equation} \tau = \sqrt{\frac{16 \pi V_{\rm eq}}{3 p_{\rm eq} \gamma} \frac{d}{r}} . \end{equation} Keep in mind that $\gamma \sim 1$ for almost every material and the apparatus dependence of $\tau$ is given as $(d/r)^{1/2}$. It is up to the designer of the experiment to play with $r,d$, and $V_{\rm eq}$ to bring $\tau$ into a sensible interval. (We do not have much freedom on $p_{\rm eq}$ as it must be very close to the atmospheric pressure.)

Further reading

Present post is obviously influenced by the works of the philomath Clifford A. Truesdell. Owen's textbook is a good source for a beginner of rational thermodynamics. Finally Chapter 5 of Zemansky is where the Rüchhardt method is described in a less quantitative way.

1. Clifford A. Truesdell and Subramanyam Bharatha, The Concepts and Logic of Classical Thermodynamics as a Theory of Heat Engines Rigorously Constructed upon the Foundation Laid by S. Carnot and F. Reech, Springer-Verlag, New York, 1977.
2. Dawid R. Owen, A First Course in the Mathematical Foundations of Thermodynamics, Springer-Verlag, New York, 1984.
3. Mark W. Zemansky and Richard H. Dittman, Heat and Thermodynamics, McGraw-Hill, New York, 1996. 7th edition.