Hilal diliminin alanı

Bir daireden başka (ve daha büyük) bir daire yardımıyla kestiğimiz dilime hilal diyeceğiz. Bu tarife göre hilali tanımlayan üç parametre var: dairelerin yarıçapları $a$ ve $b$ ve iki dairenin merkezleri arasındaki uzaklık $c$. Bu postadaki sorumuz ise elde ettiğimiz hilalin alanını verilen parametreler cinsinden ifade etmek. Bu probleme İngilizce literatürde "Lune Problemi" deniyor. Lune, az çok hilal ile aynı anlamda.

Her sorunun farklı yöntemlerle çözümü olduğu gibi bu sorunun da (benim görebildiğim) iki farklı çözümü var. İlkinde trigonometri ve bir miktar lineer cebir kullanılarak istenilen alan hesaplanıyor. İkincisinde ise analitik geometri ve integral analizin imkanları devreye giriyor. İkinci yöntem daha sistematik ve daha genel. Birincisinde ise problemi çözen kişinin bir takım ek çizimlerle soruda verilmeyen şekil ve yapıları görmesi bekleniyor.

Çözümü elde ettikten sonra çıkan sonucu kurcalayarak değişik limitleri araştırmak ve cevabımızın tutarlılığını sorgulamak da mümkün. Örneğin $\frac{a}{b} \to 0$ asimptotiğinde hilal yerine bir "dördün" ya da D harfi benzeri bir yapı elde ediliyor. D harfinin alanını ayrıca hesaplayarak limit durumunda onu elde ettiğimizi gösterebilmemiz lazım. $c \geq a+b$ durumunda ise ortada hilal falan kalmıyor. Elde ettiğimiz çözüm bunu da yansıtmalı.

Dairelerin merkezleri $A$ ve $O$ noktalarıyla gösterilsin. Hesaplamaya çalıştığımız hilalin alanına $S$, $OBC$ daire diliminin alanına $T$, $\triangle ABO$ ve $\triangle ACO$ üçgenlerinin alanlarına ise $U$ diyelim. Simetriden dolayı bu iki üçgenin aynı olduğu barizdir. Bu alanlardan en kolay hesaplananı $U$. Heron formülünü uygulayalım. \[ U = \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \] Heron formülünün permutasyon simetrisine sahip olduğunu gözleyiniz. Verilenler cinsinden kolayca ifade edilebilen diğer nicelikler $\alpha$ ve $\beta$ açıları. Bunları da cosinus teoremiyle ifade edeceğiz. \[ \alpha = \cos^{-1} \left( \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right) \phantom{x} \text{ve} \phantom{x} \beta = \cos^{-1} \left( \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \right). \]

$A$ merkezli $ABC$ daire diliminin alanı \[ T + 2U = \alpha b^{2} \] ile verilir. Buradan \[ T = \alpha b^{2} - 2U \] bulunur. (Heron fomülünü uzun uzun yazmak yerine ilgili üçgenin alanını $U$ ile göstereceğiz.) $O$ merkezli $OBC$ daire diliminin alanı ise bize \[ T + S = (\pi - \beta) a^{2} \] denklemini verir. Temel trigonometrik ilişkilerden \[ \pi - \beta = \cos^{-1} \left( \frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2ac} \right) \] eşitliğini gözlediğimizde hilal diliminin alanının \begin{eqnarray}\nonumber S &=& 2U + (\pi-\beta)a^{2} - \alpha b^{2} \\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} + a^{2}\cos^{-1} \left( \frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2ac} \right) - b^{2}\cos^{-1} \left( \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right) \end{eqnarray} eşitliğiyle verildiği görülür.

İşaret: İki çemberin kesişiminden iki farklı küme zuhur eder. Bunlardan ayrık duranlara hilal (iki tane), ortak olana ise mercek denir. Bu üç bölgeden sadece birisinin alanı bulundumu diğerleri de kolayca hesaplanabilir. Mercek bölgesiyle yapılan geometrik kurulumlar ta Öklid'in Elemanlar'ındaki ilk önermeye kadar uzanır. Öklid eşkenar üçgen kurulumunu tarif ettiği ilk önermesinde özdeş iki çemberin kesişim bölgesinde bir çalışma yapmıştır. Yaptığı çizimdeki ölçümler bizim dilimizde $a=b=c$ ile verilir.

Ödev: Hilal diliminin alanını integral calculus kullanarak hesaplayınız.

Franck Muller Crazy Hours serisinde moduler aritmetik

Normal analog kol saatlerinde yelkovan 60 dakikada 360 derecelik bir açı süpürürken aynı süre zarfında akrep sadece 30 derecelik bir açıyı süpürür. Franck Muller adlı İsviçre menşeli bir saat firmasının Crazy Hours adlı sürümü bu geleneksel şablonun biraz dışına çıkıyor. Akrep 59 dakika boyunca hiç hareket etmiyor ve 60. dakika dolduğunda bir sonraki saate sıçrıyor. Zira saat başları ardışık dizilmiş durumda değil. Örneğin 1'den sonra 6, 6'dan sonra 11 geliyor. Saatin kaç olduğunu anlamak için akrebe bakıyorsunuz. Akrep mesela 3'ü gösteriyorsa saat 3. Ama kaç dakika geçtiğini anlamak için yelkovana bakmanız gerekiyor ve yelkovanı geleneksel pozisyonuna göre okumanız gerekiyor. Yelkovan akrebin aksine alıştığımız düzende ilerliyor. Bu uçuk tasarımın fiyatı da az değil. Color Dreams modellerinin fiyatı satıcıya ve ülkelere göre değişiyor. 2025 itibarıyla 100.000 TL ile 1.500.000 TL arasında ücret talep edenler var! Çoğunda kargo ücretsiz :-)

Böyle kafadan çatlak bir saati tasarlamak için biraz moduler aritmetik bilmeniz gerekiyor. Analog saatlerde saat başları 30 derece aralıklarla bir çember üzerine dizilir. Akrep her 60 dakikada 30 derece sıçrarsa bu bildiğiniz adi analog saat olur. Bunda sıradışı bir şey yok. Öte yandan akrebin her 60 dakikada 180 derece sıçradığı senaryoda akrep için sadece iki durak vardır ve 12'den 6'ya, 6'dan 12'ye sıçrar durur. Dolayısıyla kafadan çatlak bir saat tasarlarken akrebin sıçrama açısını canımızın istediği gibi seçemiyoruz. Akrep 12 saat içinde her saat başını tam olarak bir kere göstermeli ve 12 saat sonunda başladığı noktaya geri dönmeli.

Şimdi, $k \in \mathbb{N}$ olmak üzere akrep her 60 dakikada $30 k$ derece sıçrasın. O zaman $s$ saat sonra akrep toplamda $30ks$ kadar bir açı sıçrar. Bu açının $s \lt 12$ için 360 derecenin bir tam katı olmaması gerekiyor. Aksi takdirde akrebin 180 derece sıçradığı senaryoda olduğu gibi akrep için 12 durak yerine 2 durak olur. Matematik dilinde bu durumu $m \in \mathbb{N}$ olmak üzere $30ks \ne 360 m$ ya da $ks \ne 12 m$ şeklinde gösterebiliriz. ($s=12$ için $m=k$ şeklinde bir $m$ her zaman bulunabilir.) Bu durum $s \lt 12$ için $ks$ çarpımının 12 ile bölünemeyeceğini söyler. Ama $k$ ve 12'nin $\mathbb{N} \ni \mu \gt 1$ şeklinde bir ortak böleni varsa o zaman $s = \frac{12}{\mu} \lt 12$ için $ks$ çarpımı 12 ile bölünür. İşte aradığımız şartı bulduk!

Çatlak saat tasarımında akrep her 60 dakikada $30k$ derece sıçrasın. O zaman ${\rm obeb}(12,k)=1$ olmalıdır.

Bu şartı sağlayan $k$ değerleri $\{1,5,7,11\}$ kümesini oluşturur. $k=1$ için adi analog saati elde ettiğimizi daha önce not etmiştik. $k=11$ için saat başları saat yönünün tersine ardışık olarak dizilir. (Lütfen kendiniz deneyin.) Franck Muller kendi çatlak saat tasarımında $k=5$ seçmiş. Böylesi bir tercihte akrep saat yönünde her 60 dakikada bir 150 derece sıçrıyor.

Tasarımın son basamağı referans bir saat başının hangi pozisyona konulacağıdır. Ben olsam saat 12'yi geleneksel pozisyonuna koyardım. Firma öyle yapmamış saat 10'u geleneksel yerine koymuş. (Bu konfigurasyonda saat 12, 8'in geleneksel saatteki konumuna geliyor.) Ama neden? Çünkü bütün saat reklamlarında saat 10:10'u göstermelidir. Böyle yazılmamış bir pazarlama kuralı var :-)

Descartes'ın işaret kuralının en kesin cevabı verdiği durum

Descartes'ın işaret kuralı bir polinomun kaç tane pozitif kökü olacağını söyler ama her durumda tam bir cevap yerine genelde bir üst limit ve bu üst limitten ikişer ikişer azalan adette pozitif kök bulunduğunu ifade eder. Ancak iki durum hariç. (1) Bir polinomun katsayılarının hepsi aynı işarette ise o zaman bu polinomun hiç pozitif kökü yoktur. Bu az çok bariz bir önerme. (2) Bir polinomun ardışık katsayıları arasında sadece bir tane işaret değişikliği varsa o zaman bu polinomun tam bir adet pozitif kökü vardır. Bu postada bu önermeyi ispatlayacağız.

$P(X) := a_{n}X^{n} + \cdots + a_{k}X^{k} + \cdots + a_{0}$ olsun. $k+1 \leq i \leq n$ için $a_{i} \geq 0$ ve $0 \leq i \leq k$ için $a_{i} \leq 0$ verilsin. Diğer bir deyişle bu polinomun katsayılarının işaret listesinde (sıfırlar silindikten sonra) $\{+ \cdots +- \cdots -\}$ şeklinde ardışık terimler arasında sadece bir işaret değişikliği görülsün. Kendimizi garantiye almak için $a_{n} \ne 0$ ve $a_{0} \ne 0$ olduğunu da varsayacağız ki işaret listesinde gerçekten bir değişiklik olsun.

$P(0) = a_{0} \lt 0$ ve $X \to \infty$ asimptotiğinde $P(X) > 0$ olduğundan bu sürekli fonksiyonun $(0,\infty)$ aralığında en az bir kökü vardır. Bunu Calculus dersinden biliyorsunuz. $F(X) := \frac{P(X)}{X^{k}}$ tanımlayalım. $x \ne 0$ için $P(x)=0 \iff F(x)=0$ olduğu barizdir. Yani $P$ ve $F$ aynı kökleri özellikle de aynı pozitif kökleri paylaşırlar. Ama \[ F^{\prime}(X) = (n-k)a_{n}X^{n-k-1} + \cdots - \frac{a_{k-1}}{X^{2}} - \cdots - \frac{(k-1)a_{1}}{X^{k-2}} \] $F^{\prime}$ fonksiyonundaki tüm katsayılar pozitiftir. O zaman $X > 0$ için $F^{\prime}(X) > 0$ olur. Diğer bir deyişle $X > 0$ için $F$ artan bir fonksiyondur. Ama verilen bir aralıkta artan bir fonksiyonun o aralıkta en çok bir tane kökü olabilir. Bunu da Calculus'tan biliyorsunuz. Toparladığımızda $P(X)$ polinomunun tam olarak bir adet pozitif kökünün olduğunu göstermiş oluyoruz.