$n^{p}-n \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 2p)$

Soru: $p$ asal ve $n \in \mathbb{N}$ olmak üzere $n^{p}-n \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 2p)$ olduğunu ispatlayınız.

Bu soruyu tümevarım yöntemini kullanarak ispatlayacağız.

İspat: $n=1$ olsun. O zaman $1^{p}-1=0$ olduğundan ve sıfır (kendisi hariç) tüm tam sayılara bölündüğünden önerme bu durum için doğrudur.

Önermenin $n$ için doğru olduğunu varsayalım. Diğer bir ifadeyle $n^{p}-n$ sayısı $2p$ ile bölünsün. O zaman binom teoremini ve binom katsayılarının özelliklerini kullanarak \begin{eqnarray}\nonumber (n+1)^{p} - (n+1) &=& n^{p}-n + \sum_{k=1}^{p-1} \frac{p!}{k!(p-k)!} n^{k} \\ \nonumber &=& n^{p}-n + \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{p!}{k!(p-k)!} (n^{k} + n^{p-k}) \\ \nonumber &=& n^{p}-n + \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{p!}{k!(p-k)!} n^{k}(1 + n^{p-2k}) \end{eqnarray} yazabiliriz. (i) Tümevarım hipotezi uyarınca son eşitlikteki ilk terim yani $n^{p}-n$, $2p$ ile bölünür. (ii) $n$ tek/çift ise, o zaman $n^{k}$ tek/çift ve $1+n^{p-2k}$ çift/tek olur. Dolayısıyla $n^{k}(1 + n^{p-2k})$ çarpımı her zaman çifttir. $L\in \mathbb{N}$ olmak üzere, bu sayıya $2L$ diyelim. (iii) $p$ asal ve $1 < k < p $ ise, o zaman $p$ binom katsayısını, $\frac{p!}{k!(p-k)!}$, böler. (Bölmediğini varsayalım. O zaman binom katsayısının paydasındaki çarpanlardan $2,\ldots, \max \{ k, p-k \} < p$ en az birisinin $p$ ile ortak bölene sahip olması gerekirdi. Ama bu $p$ sayısının asallığı ile çelişir.) $M\in \mathbb{N}$ olmak üzere, binom katsayısına da $pM$ diyelim. (iv) Toparladığımızda, toplam sembolü altındaki her terimin $2pLM$ formunda olduğu görülür. QED

İşaret: $p=5$ olunca çok özel bir durumla karşılaşıyoruz. Zira $n^{5}-n \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 10)$ oluyor. Bir sayının $10$ ile bölünebilmesi için son basamağının sıfır olması gerekir. Ama bu her doğal sayının beşinci kuvveti ile kendisinin ilk basamağının aynı olmasını zorunlu kılar. Örneğin 327⁵=3.738.856.210.407 gibi.

İşaret: Yukarıda yaptığımız ispatı taklit ederek $n^{p}-n \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ p)$ olduğunu göstermek çok kolaydır.

İşaret: $p$ eğer asal olmasaydı, o zaman önermemiz de geçerliliğini yitirecekti. Karşı örnek: $n=3$, $p=4$ olsun. O zaman $3^{4}-3=78$ olur ve bu sayı ne $4$'e ne de $2\times 4= 8$'e bölünür.

Ödev: (Fermat'nın Küçük Teoremi) $p$ asalı $n$ doğal sayısını bölmüyor ise, o zaman $n^{p-1} \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ p)$ olduğunu gösteriniz.

Ödev: $n^{5}-n \equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 30)$ olduğunu gösteriniz.