Soru: p asal ve n∈N olmak üzere np−n≡0 (mod 2p) olduğunu ispatlayınız.
Bu soruyu tümevarım yöntemini kullanarak ispatlayacağız.
İspat: n=1 olsun. O zaman 1p−1=0 olduğundan ve sıfır (kendisi hariç) tüm tam sayılara bölündüğünden önerme bu durum için doğrudur.
Önermenin n için doğru olduğunu varsayalım. Diğer bir ifadeyle np−n sayısı 2p ile bölünsün. O zaman binom teoremini ve binom katsayılarının özelliklerini kullanarak (n+1)p−(n+1)=np−n+p−1∑k=1p!k!(p−k)!nk=np−n+p−12∑k=1p!k!(p−k)!(nk+np−k)=np−n+p−12∑k=1p!k!(p−k)!nk(1+np−2k)
yazabiliriz. (i) Tümevarım hipotezi uyarınca son eşitlikteki ilk terim yani np−n, 2p ile bölünür. (ii) n tek/çift ise, o zaman nk tek/çift ve 1+np−2k çift/tek olur. Dolayısıyla nk(1+np−2k) çarpımı her zaman çifttir. L∈N olmak üzere, bu sayıya 2L diyelim. (iii) p asal ve 1<k<p ise, o zaman p binom katsayısını, p!k!(p−k)!, böler. (Bölmediğini varsayalım. O zaman binom katsayısının paydasındaki çarpanlardan 2,…,max{k,p−k}<p en az birisinin p ile ortak bölene sahip olması gerekirdi. Ama bu p sayısının asallığı ile çelişir.) M∈N olmak üzere, binom katsayısına da pM diyelim. (iv) Toparladığımızda, toplam sembolü altındaki her terimin 2pLM formunda olduğu görülür. QED
İşaret: p=5 olunca çok özel bir durumla karşılaşıyoruz. Zira n5−n≡0 (mod 10) oluyor. Bir sayının 10 ile bölünebilmesi için son basamağının sıfır olması gerekir. Ama bu her doğal sayının beşinci kuvveti ile kendisinin ilk basamağının aynı olmasını zorunlu kılar. Örneğin 3275=3.738.856.210.407 gibi.
İşaret: Yukarıda yaptığımız ispatı taklit ederek np−n≡0 (mod p) olduğunu göstermek çok kolaydır.
İşaret: p eğer asal olmasaydı, o zaman önermemiz de geçerliliğini yitirecekti. Karşı örnek: n=3, p=4 olsun. O zaman 34−3=78 olur ve bu sayı ne 4'e ne de 2×4=8'e bölünür.
Ödev: (Fermat'nın Küçük Teoremi) p asalı n doğal sayısını bölmüyor ise, o zaman np−1≡1 (mod p) olduğunu gösteriniz.
Ödev: n5−n≡0 (mod 30) olduğunu gösteriniz.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder