$(0,\infty)$ aralığındaki sayısal integralleri hesaplamak için cebirsel dönüşüm

Bir önceki postada çan eğrisinin $(0,\infty)$ aralığındaki integralini verilen bir hata payıyla kestirmek için eşitsizlikler sanatını kullanarak integrasyon aralığını $a < \infty$ olacak şekilde $(0,a)$ olarak tayin etmeye ilişkin bazı gözlemlerde bulunmuştuk. Bu postada çan eğrisinin integraline devam edeceğiz. Anlatmayı planladığımız konu sonsuz integrasyon aralıklarını sonlu aralıklara düşürmektir.

Daha önceki çalışmamızda sonsuz aralık yerine bu aralığın belli bir hata payını göze alarak sonlu bir aralığa düşürülmesini tartışmıştık. Şimdi aynı integralde bir koordinat dönüşümü yaparak, sonsuz integral aralığını sonlu bir aralığa hata yapmadan dönüştüreceğiz. $x \in [0,\infty)$ ve $s \in [0,1)$ için aşağıdaki dönüşümü ele alalım. \begin{equation*} x = \frac{s}{1-s} \end{equation*} Bu cebirsel dönüşümün tersi aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} s = \frac{x}{1+x} \end{equation*} Çalıştığımız integralde $x=0$ noktası yine $s=0$ noktasına gider. Ancak $x=\infty$, yukarıdaki ters dönüşüm gereğince $s=1$ noktasına gider. $dx$ ve $ds$ diferansiyelleri arasındaki ilişki ise aşağıdaki gibidir. \begin{equation*} dx = \frac{1}{(1-s)^{2}}ds \end{equation*} Bütün bu ön hazırlıktan sonra Gauss integralini yeni değişkenle ifade etmeye hazırız. \begin{equation*} \frac{I}{2} = \int \limits_{0}^{\infty} \exp(-x^{2})dx = \int \limits_{0}^{1} \exp \left( - \frac{s^{2}}{(1-s)^{2}}\right) \frac{1}{(1-s)^{2}}ds \end{equation*} İstediğimiz oldu. $f(x) := \exp(-x^{2})$ ve $g(s) := \exp \left( - \frac{s^{2}}{(1-s)^{2}}\right) \frac{1}{(1-s)^{2}}$ ile yukarıda integrali alınan fonksiyonları tanımlayalım. Bu fonksiyonların grafikleri şekilde veriliyor. $g$ fonksiyonunun grafiğinden nitel olarak $s \geq 0,75$ için pratik olarak $g(x) \approx 0$ olduğunu gözleyiniz.

Son olarak $[0,\infty)$ aralığını $[0,1)$ aralığına gönderen tek dönüşümün burada verdiğimiz dönüşüm olmadığını belirtelim. Örneğin aşağıdaki dönüşümler de bu işi görebilir. \begin{equation*} n,m \in \mathbb{Z}^{+}, \ s \in [0,1), \ x = \frac{s^{n}}{1-s^{m}}, \ x = \sqrt{-\log(1-s)}, \ {\rm vs}. \end{equation*}