Bir △ABC üçgenine ait kenar uzunlukları a:=|BC|, b:=|AC| ve c:=|AB| verilmiş olsun. Amacımız bu üçgenin yüksekliklerini, alanını, iç ve dış açı ortayları ile kenar ortaylarının uzunluklarını, iç teğet, çevral ve dış teğet çemberlerinin yarıçaplarını verilenler cinsinden ifade etmektir.
Kenar ortaylar: △ABC üçgeninde A noktasına ait kenar ortay BC kenarını D noktasında ikiye bölsün. O zaman |BD|=|CD|=a/2 olur. m(∠ACB)=:γ diyelim. △ABC üçgeninde uygulanan kosinüs teoremi gereğince
cosγ=a2+b2−c22ab
olur. A noktasından |BC| kenarına inen kenar ortayın ölçüsü ma=|AD| olsun. Kosinüs teoremini △ACD üçgeninde de uygularsak
m2a=b2+a24−abcosγ
olur. cosγ için daha önce elde edilen değer yerine konur ve denklem yeniden düzenlenirse
ma=12√2b2+2c2−a2
sonucuna ulaşılır. mb ve mc uzunluklarının formülleri de tamamen analog bir yöntemle çıkarılabilir.
Yükseklikler: A köşesinden BC kenarına indirilen dikme, BC kenarını HA noktasında kessin ve uzunluğu ha kadar olsun. x:=|BHA| dersek, |CHA|=a−x olur. Hem △ABHA hem de △ACHA dik üçgenlerdir. O zaman Pisagor teoremini bu üçgenlere uygulayabiliriz:
△ABHA: x2+h2a=c2△ACHA: (a−x)2+h2a=b2
İkinci denklemden birinci denklemi çıkartıp sonucu x için yeniden düzenlediğimizde
x=a2+c2−b22a
bulunur. Bu ifade mesela ABHA ile işaretli denkleme konulursa
h2a=c2−x2=(c−x)(c+x)=(c−a2+c2−b22a)(c+a2+c2−b22a)=(2ac−a2−c2+b2)(2ac+a2+c2−b2)4a2=(b2−(a−c)2)((a+c)2−b2)4a2
Pay kısmında her iki parantezdeki iki kare farkına ait ifadeler çarpanlarına ayrılıp sağ ve sol tarafın karekökleri alınırsa
ha=12a√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
formülü bulunur. hb ve hc uzunluklarının formülleri de analog yöntemlerle elde edilebilir. (Bu paragrafta HA noktasının B ve C noktaları arasına düştüğü varsayılmıştır. Bazı üçgenlerde bu nokta B ve C noktalarının arasında olmayabilir. Böyle bir durumu da siz inceleyiniz. )
Alan: (İskenderiyeli Heron'un formülü) Bir önceki paragrafta yükseklikleri hesapladık. Artık üçgenin alanını hesaplamak çok basit bir Taban çarpı yükseklik bölü iki.
uygulamasına kaldı.
S(△ABC)=12aha=14√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
Bu formüle literatürde İskenderiyeli Heron'un (veya Hero'nun) formülü denir.
İç teğet çemberin yarıçapı: Heron'un formülünü de ispatladıktan sonra iç teğet çemberin yarıçapına geçebiliriz. △ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi I noktası olsun. I noktasından kenarlara indirilen dikmeler, kenarları P, Q ve R noktalarında kessin. Kenarlar çembere teğet olduğundan bu dikmelerin hepsinin uzunluğu r, iç teğet çemberin yarıçapı kadardır. Bu dikmeler aynı zamanda △ABI, △BCI ve △ACI üçgenlerinin yükseklikleridir. Şekildeki üçgenlerin alanları arasında
S(△ABC)=S(△ABI)+S(△BCI)+S(△ACI)
eşitliğinin olduğu aşikardır. O zaman
S(△ABC)=12(a+b+c)r olur. Artık burada Heron'un formülünü kullanarak r uzunluğunu ifade edebiliriz.
r=12√(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)a+b+c
İç açı ortaylar: ∠BAC açısını ikiye bölen doğru BC kenarını L noktasında kessin. Tanım gereği m(∠BAL)=m(∠CAD)=:α olur. |AL|=:la diyelim. İç açı ortayın △ABC üçgenini iki parçaya böldüğünü biliyoruz. En genel durumda bu parçaların alanları eşit olmasa dahi, bu iki parçanın alanları toplamı S(△ABC) değerini verecektir. O zaman
S(△ABC)=S(△ABL)+S(△ACL)12bcsin(2α)=12clasinα+12blasinα
Temel trigonometrideki sin(2α)=2sinαcosα formülü kullanılırsa, iç açı ortayın uzunluğu cosα cinsinden yazılabilir.
la=2bcb+ccosα
△ABC üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak, cos(2α) değerini rahatça hesaplarız. Buradan da cos2α=12cos(2α)+12 özdeşliğinden, cosα değeri bulunur.
cos(2α)=b2+c2−a22bc ⇒ cosα=√(b+c)2−a24bc
Son olarak cosα ifadesinde iki kare farkını çarpanlarına ayırarark iç açı ortay uzunluğunu
la=1b+c√bc(a+b+c)(−a+b+c)
hesaplamış oluruz. lb ve lc için yapılacak analiz tamamen analogdur.
Çevral çemberin yarıçapı: Üçgenin alanının S(△ABC)=12bcsin(∠BAC) olduğunu biliyoruz. Buradan sin(∠BAC)=2S(△ABC)bc olur. Yine, çevral çemberin yarıçapı da R=a2sin(∠BAC) eşitliğini sağlar. (Bunu ispatlayabilir misiniz?) O zaman İskenderiyeli Heron'un formülünü kullanarak
R=abc4S(△ABC)=abc√(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
sonucuna ulaşırız.
Dış teğet çemberin yarıçapı: △ABC üçgeninde AB ve BC kenarlarını uzatalım. Üçgenin AB, BC ve AC kenarlarına sırasıyla D, E ve F noktalarında dışarıdan teğet çemberin merkezi OA yarıçapı rA olsun. Amacımız rA değerini üçgenin kenarları cinsinden ifade etmektir. Hesaplamalarımıza başlamadan önce bir çembere dışında kalan bir noktadan çekilen teğetlerin uzunluklarının eşit olduğunu hatırlıyoruz. O zaman |BD|=|BE|=:x, |CE|=|CF|=a−x, |AD|=|AF| olur. |AD|=c+x ve |AF|=b+a−x oldukları gözlenirse buradan
x=|BD|=|BE|=a+b−c2
ve
|AD|=|AF|=a+b+c2
bulunur. Şekildeki ADOAF dörtgeninin alanı için S(ADOAF)=rA|AD|=rAa+b+c2 yazabiliriz. Aynı alan
S(ADOAF)=S(△ADF)+S(△DFOA)
toplamı olarak da yazılabilir. Birbirlerini π radyana tamamlayan açıların sinüslerinin eşit olduğunu hatırlayarak son denklemi
12(a+b+c)24sin(∠BAC)+12r2Asin(∠BAC)=rAa+b+c2
denklemine ulaşırız. Bu rA için ikinci mertebeden bir denklemdir. Bu denklem klasik yöntemlerle çözüldüğünde
rA=a+b+c21±cos(∠BAC)sin(∠BAC)
Hangi işareti seçmeliyiz? Sezgisel olarak bakıldığında ∠BAC açısı büyüdükçe dış teğet çemberin yarıçapıda büyümelidir. Böyle bir durum ancak (−) işaretini seçtiğimizde mümkündür. Kosinüs teoremi kullanılarak cos(∠BAC) rahatlıkla kenar uzunlukları cinsinden ifade edilebilir. Daha sonra da herhangi bir ζ açısı için geçerli olan sinζ=√1−cos2ζ formülünden de sin(∠BAC) hesaplanılırsa, aradığımız uzunluk
rA=12√(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)−a+b+c
hesaplanılabilir. Söylemeye lüzum var mı? rB ve rC tamamen analog bir biçimde hesaplanılacaktır.
Alıştırmalar
Bu bölümde bulduğumuz sonuçları kullanarak
- Üçgenin çevresi L, alanı S olsun. LS=2rArBrC olduğunu gösteriniz
- r−1=r−1A+r−1B+r−1C olduğunu gösteriniz.
- r−1=h−1a+h−1b+h−1c olduğunu gösteriniz.
- (Zor) △ABC üçgeninde A açısına ait dış açı ortay BC kenarını üçgenin dışındaki bir E noktasında kesmektedir.
|AE|=1c−b√bc(a−b+c)(a+b−c)
olduğunu gösteriniz
İşaret: Burada çoğunlukla trigonometrik yöntemlerle bulduğumuz nicelikler ileride işimize yarayacak bir el kitabı niteliğindedir ve bundan sonra referans verilerek kullanılacaktır.