Cassini özdeşliğiyle Fibonacci sayılarının geometriklikten sapmasının tayini

Giriş

Dizileri hepimiz biliyoruz. En genel haliyle tanım kümesi doğal sayılar olan fonksiyonlara dizi deniyor. Değer kümesi genellikle gerçel sayılar oluyor bu fonksiyonların ama zaman zaman Fibonacci dizisinde olduğu gibi doğal sayılardan doğal sayılara da tanımlanabiliyor diziler. Fibonacci dizisinin tanımını bilmeyen yoktur ama formaliteye uymak için bu iki terimli yineleme bağıntısı şeklinde verilen diziyi tanımlayalım. \begin{eqnarray} \nonumber F_{0} &=& 0, \\ \nonumber F_{1} &=& 1, \\ \nonumber F_{n} &=& F_{n-1} + F_{n-2}, \ \ \ n \geq 2. \end{eqnarray} Matematiğin değişik branşlarında karşımıza çıktığı gibi, fizik ve biyolojide de rastlıyoruz Fibonacci sayılarına. Cılkı çıkana kadar popüler bilim dergilerinde bunlar anlatıldığı için uygulamalarına bu postada girerek halihazırdaki materyalin hacmini artırma niyetinde değilim. Da Vinci Şifresi gibi şamatadan romanlarda dahi bu sayılardan bahsedildiğini hatırlatayım ve Fibonacci sayılarının popüler kültürde ne kadar yer ettiğini bu örnekten anlayın. Yine sırf bu sayılara tahsis edilmiş The Fibonacci Quarterly adlı bilimsel bir derginin varlığı da bu sayıların ne kadar doğurgan olduğunu göstermeye yeterli.

Yukarıda verdiğimiz iki terimli yineleme bağıntısı Fibonacci sayılarını hesaplamak için indüktif bir algoritma aslında. Ne var ki mesela $F_{1000}$ sayısını hesaplamak için kendisinden önceki 1000 Fibonacci sayısını da hesaplamayı gerektiriyor. Bu yönüyle geçmişine bağlı bir formül yani müstakil değil. Bu postada Fibonacci sayıları için önce müstakil bir formül türeteceğiz ve daha sonra bu formülü kullanarak Cassini ve Catalan özdeşliklerini göstereceğiz.

Yineleme bağıntısının fark denklemi olarak çözümü

Daha teknik bir dille konuşmak gerekirse Fibonacci dizisini tanımlayan yineleme bağıntısı için lineer, sabit katsayılı, ikinci dereceden bir fark (difference) denklemi denilebilir. Bu denklemlerin diferansiyel analogları çalışılırken $y(x) = \exp(\lambda x)$ şeklinde bir deneme çözümü kullanılıp, ardında çıkan cebirsel ifadeyi çözen $\lambda$ kökleri bulunur. Nihayet başlangıç şartlarına uyacak şekilde çözümlerin lineer kombinasyonuyla işlemler tamamlanır. Burada da yapacağımız şey hemen hemen aynı. Öncelikle yukarıda iki terimli bir yineleme bağıntısı biçiminde verdiğimiz Fibonacci'nin fark denkleminin $F_{n} = r^{n}$ formunda çözüm(ler)ini arayacağız. Bu deneme çözümünü yineleme bağıntısına koyduğumuzda aşağıdaki cebirsel denklemi elde ediyoruz. \begin{equation*} r^{2}-r-1=0 \end{equation*} İkinci dereceden olan bu denklemin kökleri kolayca hesaplanır. \begin{equation*} x_{1} := \frac{1+\sqrt{5}}{2} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ x_{2} := \frac{1-\sqrt{5}}{2}. \end{equation*} Yine altın oran, ilahi estetik vb cılkı çıkarılmış literatür kavşağını pas geçerek, söz konusu kökler arasında $x_{1}+x_{2}=1$, $x_{1}-x_{2}=\sqrt{5}$ ve $x_{1}x_{2}=-1$ bağıntılarını gözlemenizi istiyorum. Zira bunlar ileride lazım olacak. (Örneğin $1/x_{2}$ gördüğümüz yere nedenini izah etmeden $-x_{1}$ yazacağız.) Şimdi, adi diferansiyel denklemleri çözerken izlediğimiz yöntemi taklit edip bu iki temel çözümün bir lineer kombinasyonunu alacağız. \begin{equation*} F_{n} = a_{1}x_{1}^{n} + a_{2}x_{2}^{n} \end{equation*} $a_{1}$ ve $a_{2}$ katsayıları ise sayısal değeri verilmiş $F_{0}=0$ ve $F_{1}=1$ başlangıç şartları kullanılarak temin edilebilir. $F_{0}=0=a_{1}+a_{2}$ olduğundan, $a_{2}=-a_{1}$ olması gerektiği sonucuna varıyoruz. Bu sonucu ikinci başlangıç şartında kullanalım. $F_{1}=1=a_{1}(x_{1}-x_{2}) = a_{1}\sqrt{5}$ olduğundan, $a_{1}=1/\sqrt{5}$ sonucu çıkar. Aradığımız müstakil formülü nihayet elde etmiş olduk. \begin{equation*} \boxed{F_{n} = \frac{x_{1}^{n}-x_{2}^{n}}{\sqrt{5}}} \end{equation*} Fibonacci sayılarının hepsi doğal sayılar olduğu halde, onları veren müstakil derli toplu formülde irrasyonel $\sqrt{5}$ sayısının kullanımını gözleyiniz. Benzeri bir durum da üçüncü dereceden cebirsel denklemlerin Cardano yöntemiyle gerçel kökleri hesaplanırken, ilgili formüllerde sanal sayıların kullanımıyla karşımıza çıkar. Hatta buna Gerçel sayılara giden yol karmaşık sayılardan geçer. denir.

Cassini özdeşliği ile Fibonacci dizisinin geometrik karakteri

Yukarıda sunduğumuz müstakil formülü türetirken kullandığımız $F_{n}=r^{n}$ formuna matematikte geometrik dizi deniyor. Geometrik diziler, aritmetik dizilere kıyasla, terimlerinin çok hızlı artmasıyla temayüz eder. Öte yandan müstakil formülü türetirken yaptığımız lineer kombinasyon Fibonacci dizisinin tam bir geometrik dizi olmasını engelliyor. Eğer Fibonacci dizisi tam bir geometrik dizi olsaydı, dizideki ardışık iki terimin oranının sabit olması gerekirdi. Ama $8/5=1,6$ ve $13/8=1,625$ örneğinden de görüleceği üzere dizi tam geometrik değil. İşte Cassini özdeşliği bana göre Fibonacci dizisinin her teriminde geometriklikten ne kadar saptığını nicel olarak tayin etmek için bir yol öneriyor. Söz konusu özdeşliği hatırlayalım. \begin{equation*} {\rm Cassini:} \ \ \ F_{n-1}F_{n+1} = F_{n}^{2} + (-1)^{n} \end{equation*} Dizi eğer tam geometrik olsaydı, o zaman denklemin sağ tarafında yer alan $(-1)^{n}$ teriminin bulunmaması gerekirdi.

Cassini özdeşliğini ispatlayacağız. İnternette determinantların ve lineer cebire ilişkin yöntemlerin kullanıldığı iki satırlık ispatları mevcut bu özdeşliğin. Açıkçası burada vereceğimiz ispat o derece yüksek teknolojileri kullanmadığı için daha uzun olacak. Hiçbir zeka pırıltısı beklemeyin; tamamen brüt kuvvet paradigmasını kullanacağız. Eşitliğin sol tarafından başlayıp, müstakil formülü kullanarak sağ tarafına varmaya çalışacağız. \begin{eqnarray}\nonumber F_{n-1}F_{n+1} &=& \frac{1}{5} (x_{1}^{n-1}-x_{2}^{n-1}) (x_{1}^{n+1}-x_{2}^{n+1}) \\ \nonumber &=& \frac{1}{5} \left\{ x_{1}^{2n} - x_{1}^{n-1}x_{2}^{n+1} - x_{1}^{n+1}x_{2}^{n-1} + x_{2}^{2n} \right\} \\ \nonumber &=& \frac{1}{5} \left\{ x_{1}^{2n} + x_{2}^{2n} - 2(x_{1}x_{2})^{n} + 2(x_{1}x_{2})^{n} - (x_{1}x_{2})^{n} (x_{1}^{-1}x_{2}+x_{1}x_{2}^{-1}) \right\} \\ \nonumber &=& \frac{1}{5} \left( x_{1}^{n} - x_{2}^{n} \right)^{2} + \frac{1}{5} \left\{2(x_{1}x_{2})^{n} + (x_{1}x_{2})^{n} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\right\} \\ \nonumber &=& F_{n}^{2} + \frac{(-1)^{n}}{5} \left\{ 2 + (x_{1}+x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} \right\} \\ \nonumber &=& F_{n}^{2} + (-1)^{n} \end{eqnarray}

Cassini özdeşliğinden aldığımız ilhamla, Fibonacci sayılarının geometriklikten sapmasını nicel olarak tanımlayabiliriz. \begin{equation*} \varepsilon := \sqrt{\frac{F_{n-1}F_{n+1}}{F_{n}^{2}}} - 1 \end{equation*} Karekök fonksiyonu için Taylor kestirmesi kullanıldığında söz konusu sapma $n \to \infty$ asimptotiğinde aşağıdaki gibi yaklaştırılabilir. \begin{equation*} \varepsilon \sim \frac{(-1)^{n}}{2F_{n}} \end{equation*} $F_{14}=377$ ve $F_{15}=610$ olduğuna göre, söz konusu sapma $n \geq 15$ için mutlak değerce binde bir düzeyinin altında kalmaktadır.

Ödev: Catalan özdeşliği

Cassini özdeşliğinin daha genel halini Catalan özdeşliğinde bulabilirsiniz. $m \leq n$ için \begin{equation*} {\rm Catalan:} \ \ \ F_{n}^{2} - F_{n-m}F_{n+m} = (-1)^{n-m}F_{m}^{2} . \end{equation*} Bu denklemi ispatlayınız ve Catalan formülüne dayanarak Fibonacci sayılarının geometriklikten sapmasını tanımlayan bir formül öneriniz. Taylor kestirmesiyle söz konusu sapmaya asimptotik olarak bir yaklaştırmada bulunup, bunu Cassini özdeşliğinden türettiğimiz formülle kıyaslayınız.