Lehmer'in Fibonacci sayılarından oluşan $\pi$ serisi

Sosyal medyada gezinirken Martin Gardner yaşasaydı nasıl tüvitler yazardı adlı bir twitter hesabına denk geldim. Kullanıcı daha önceden D. H. Lehmer'in American Mathematical Monthly dergisi için hazırladığı ve yine aynı dergide daha sonra çözülen bir soruyu göndermiş takipçilerine. Soruyu biraz değiştirerek ifade ettiğimizde \begin{equation*} \frac{\pi}{4} = \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{13} + \cdots \end{equation*} eşitliğinin ispatlanması talep ediyor. Burada arctan fonksiyonunun argümanını oluşturan kesirli sayıların payları hep 1, paydaları ise Fibonacci dizisindeki sayıların bir atlayarak alınması ile tespit edilmiş. Problemin çözümü iki aşamaya dayanıyor: arctan fonksiyonuna dair trigonometrik bir özdeşliğin ispatı ve Fibonacci dizisi için Cassini eşitliği. İlkini uzun uzadıya göstereceğiz. İkincisini ise okura ödev olarak bırakıp Lehmer'in problemini çözeceğiz.

$1 > \tan \varphi = a > 0$ ve $1 > \tan \eta = b > 0$ olacak şekilde bu açıların yer aldığı ve bir kenarının uzunluğu 1 birim olan iki adet dik üçgeni şekilde gösterildiği gibi eşit olan kenarlarından yamalayalım. Cosinus teoremi uyarınca elde edilen büyük üçgen için aşağıdaki eşitlik geçerlidir. \begin{equation*} (a+b)^{2} = 1+a^{2}+1+b^{2}-2\sqrt{1+a^{2}}\sqrt{1+b^{2}}\cos(\varphi+\eta) \end{equation*} Bu eşitlik sadeleştirilip yeniden düzenlendiğinde aşağıdaki ara sonuca ulaşıyoruz. \begin{equation*} \cos(\varphi+\eta) = \frac{1-ab}{\sqrt{1+a^{2}}\sqrt{1+b^{2}}} \end{equation*} Öte yandan sinus teoremini kullanarak büyük üçgenin alanını hesapladığımızda \begin{equation*} \frac{1}{2}(a+b) = \frac{1}{2}\sqrt{1+a^{2}}\sqrt{1+b^{2}} \sin(\varphi+\eta) \end{equation*} eşitliğinden \begin{equation*} \sin(\varphi+\eta) = \frac{a+b}{\sqrt{1+a^{2}}\sqrt{1+b^{2}}} \end{equation*} ara sonucu elde edilmektedir. Her iki ara sonucu taraf tarafa böldüğümüzde bu iki açının toplamının tangent değeri ortaya çıkar. \begin{equation*} \tan(\varphi+\eta) = \frac{a+b}{1-ab} \end{equation*} Nihayet $\arctan a = \varphi$ ve $\arctan b = \eta$ olduğunu gözlediğimizde ihtiyacımız olan temel trigonometrik özdeşliğe ulaşıyoruz. \begin{equation*} \arctan a + \arctan b = \arctan \left( \frac{a+b}{1-ab} \right) \end{equation*}

Anaokulundan beri hepimiz $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ olduğunu biliyoruz. O zaman $(a+b)/(1-ab)=1$ olacak şekilde rasyonel sayılar seçersek, $\pi$ sayısının argümanı rasyonel sayılar olan arctan fonksiyonu cinsinden ifade edildiği fiyakalı temsillerine ulaşabiliriz. Örneğin $a=1/2$ ve $b=1/3$ koyduğumuzda böylesi bir durum gerçekleşir ve adına Euler formülü dediğimiz temsile ulaşırız. \begin{equation*} \frac{\pi}{4} = \arctan 1 = \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} \end{equation*} Aslında basitçe $(a+b)/(1-ab)=1$ denklemini $b$ için çözerek \begin{equation*} b = \frac{1-a}{1+a} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{\pi}{4} = \arctan a + \arctan \left( \frac{1-a}{1+a} \right) \end{equation*} eşitliği ile $0 < a < 1$ için sonsuz farklı temsilini vermek mümkün $\pi$ sayısının.

Euler formülünde durmamız için bir sebep yok. $\tfrac{1}{3} = \tfrac{a+b}{1-ab}$ eşitliğini sağlayan başka rasyonel sayılar bularak bu eşitliği genişletebiliriz. Okur mesela $a=1/5$ ve $b=1/8$ seçilerek ilgili eşitliğin sağlandığını görebilir. O zaman üç terimden oluşan bir temsiline ulaştık $\pi$ sayısının. \begin{equation*} \frac{\pi}{4} = \arctan 1 = \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{8} \end{equation*} Matematik literatürüne biraz aşina olan okur 1, 2, 3, 5 ve 8 sayılarının adına Fibonacci sayıları denilen çok meşhur bir dizide art arda geldiğini hemen fark edecektir. Aklımızın bir kenarında Fibonacci dizisi ($F_{n}$) dursun. Biz Euler formülünü elemanları tam sayı olan bir dizinin arctan değerlerinin bir sonsuz toplamı şeklinde genelleştiren bir formül arayacağız. Söz konusu diziye $v_{n}$ dersek, yukarıda yaptığımız çalışmayı genelleştirmek için \begin{equation*} \frac{1}{v_{n}} = \frac{\frac{1}{v_{n+1}}+\frac{1}{v_{n+2}}}{1 - \frac{1}{v_{n+1}v_{n+2}}} = \frac{v_{n+1}+v_{n+2}}{v_{n+1}v_{n+2}-1} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ v_{n+1}v_{n+2}-1 = v_{n}v_{n+1} + v_{n}v_{n+2} \end{equation*} bağıntısının sağlanması gerektiği aşikardır. Bu son ifade yeniden düzenlendiğinde $v_{n+1}(v_{n+2}-v_{n})=1+v_{n}v_{n+2}$ eşitliği elde ediliyor. Amacımız $v_{n}$ ile $F_{n}$ arasında bir bağıntı kurmak olduğundan, tıpkı Fibonacci sayıları gibi $v_{n+2}-v_{n}=v_{n+1}$ geçerli olsun istiyoruz. Bu şartı koştuğumuzda $v_{n+1}^{2} = 1 + v_{n}v_{n+2}$ formülü geçerli oluyor. Öte yandan Fibonacci sayıları için geçerli olan Cassini özdeşliğine göre \begin{equation*} {\rm Cassini:} \ \ \ F^{2}_{2m+1} = 1 +F_{2m}F_{2m+2} \end{equation*} olduğundan aradığımız bağ tesis edilmiştir. $v_{n}=F_{2n}$ ile arctan fonksiyonlarının toplamı şeklinde verilen temsilin son terimini yani $\arctan(1/F_{2n})$ ifadesini aldığımızda, onun yerine $\arctan(1/F_{2n+1}) + \arctan(1/F_{2n+2})$ yazabileceğimiz barizdir. Devamla aynı şeyi $\arctan (1/F_{2n+2})$ için de yaptığımızda dizideki bütün çift indisli terimlerin yok olacağı ve \begin{equation*} \frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{F_{2n+1}} \end{equation*} sonucunun elde edileceği ortaya çıkar.

Ödev olarak okur Fibonacci sayıları için Cassini özdeşliğini göstermelidir.