8 Mayıs 2016 günü, 92 yaşında vefat eden Tom M. Apostol, 1923'te, ABD'nin Utah eyaletinde, Rum kökenli bir göçmen ailenin çocuğu olarak dünyaya geldi. 1944'te kimya mühendisliği üzerine lisans diploması alan Apostol, daha sonra 1946'da Washington Üniversitesi'nden matematik yüksek lisansı ve 1948'de California Üniversitesi'nden (Berkeley) Derrick Henry Lehmer'in yönettiği çalışma sonrasında doktora derecelerini aldı. Analitik sayılar teorisi alanında çalışmalarını yoğunlaştıran Apostol, Berkeley, MIT ve en sonunda Caltech'te öğretim üyeliği yaptı ve vefat edene kadar da bu kurumda, emekliliğinden sonra da çalışmalarını sürdürdü. Fazla bilinmez 90'lı yıllarda Bilkent Üniversitesi'nin birinci sınıf fizik laboratuvarlarından önce öğrencilere izlettirilen, her biri yaklaşık yarım saatlik 52 videodan oluşan The Mechanical Universe and Beyond (Mekanik Evren ve Ötesi) adlı eğitsel projenin danışman kadrosunda da yer almıştır kendisi. (İlgilenenlere: Caltech bu değerli çalışmanın tamamını youtube video paylaşım sitesine yüklemiştir.)
Yazarın eğitim camiasında etkili olan lisans ve yüksek lisans düzeyinde analiz kitapları vardır. Bunlardan birisi olan iki ciltlik Calculus, son derece açık ve hiçbir detayı atlamadan kaleme alınmasının yanı sıra, belirgin bir biçimde okura bir bilim tarihi şuuru aşılama gayretiyle de diğer kitaplardan ayrılır. Bildiğim kadarıyla bu kitap Türkiye'de sadece 90'larda Bilkent Üniversitesi'inin Fen Fakültesi'nde ders kitabı olarak kullanıldı. (İlginçtir: Bu kitap moleküler biyoloji ve genetik öğrencilerine bile okutulmasına rağmen, mesela elektrik mühendisliği öğrencilerine okutulmasından imtina edildi.) Temel düzeyde lineer adi ve kısmi diferansiyel denklemler, ihtimaliyat ve istatistik ve nihayet lineer cebir gibi adı calculus
olan bir kitapta görmeyi pek de ummadığınız bölümleri de havi olan çalışma, önce integral teorisini daha sonra da türevi anlatmasıyla, ilk bakışta yadırganır. Öğrenciyken takip etmekte zorlandığım ama mezuniyetimden sonra defalarca müracaat etme zorunluluğu duyduğum bu kitabın yıllar sonra fen ve matematik ders kitapları arasında ne derece kıymetli olduğunu şu an daha iyi anlayan birisi olarak yazara kendimi minnettar hissediyorum.
Vefatının birinci senei devriyesi münasebetiyle bu yazarın hatırasına saygı bağlamında eğitsel amaçlı kısa bir makalesini tercüme ettim. The Mathematical Intelligencer adlı derginin 5. cildinin 59. sayfasında basılan makalenin konusu Riemann zeta fonksiyonu olarak bilinen \begin{equation*} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \end{equation*} fonksiyonun $s=2$ noktasındaki değeri. Riemann zeta fonksiyonunun değerinin hesaplanması genel olarak özel değerlerde bile (aşağıdaki örnekte olduğu gibi) bir kahramanlık destanı gerektiriyor. Bu fonksiyon Bose-Einstein yoğunlaşması ve Stefan-Boltzmann kanununun ispatı gibi fizik ve matematiğin diğer branşlarında da hiç umulmadık yerlerde karşımıza çıkıyor. Apostol bu kısa makalesinde kendi mesleğine uygun olarak sayılar teorisine ait bu fonksiyonu gerçel analizin imkanlarıyla hesaplamış. Çok değişkenli analize ve çok katlı integrallere aşina olan okurun eline kalemi kağıdı alıp, işlemler arasındaki boşlukları doldurarak bu makaleyi anlamaya çalışması güzel bir analitik sayılar teorisi jimnastiği olacaktır. Tercüme tüm kusurlarıyla beraber bendenize aittir.
Euler'in ıskaladığı ispat: $\zeta(2)$ değerini kolay yoldan hesaplamak
R. Apery [1] \begin{equation*} \zeta(3) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} \end{equation*} değerinin irrasyonel olduğunu ilk ispatlayan matematikçidir. Apery'nin ispatından ilham alarak, F. Beukers [2] hem $\zeta(2)$ hem de $\zeta(3)$ sayılarının irrasyonelliğini tesis etmek için çok katlı integralleri kullanan daha kısa bir ispat vermiştir. Bu notada Beukers tarafından ele alınan aşağıdaki çift katlı integralin \begin{equation*} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{1}{1-xy} dx dy \end{equation*} doğrudan $\zeta(2)=\pi^{2}/6$ eşitliğini ispatlamakta kullanılabileceğini göstereceğiz. Yazar, temel analize giriş (calculus) derslerinde bir kaç yıl bunu öğrencilerine sunmakla beraber, literatürde böylesi bir ispata hiç rastlamamıştır.
Söz konusu integral ile $\zeta (2)$ arasındaki bağıntı, integrandı geometrik bir seride açıp, her bir terim için integrali hesaplamakla elde edilmektedir. Bunu matematiğe döktüğümüzde aşağıdaki ara sonucu elde ediyoruz. \begin{equation*} I = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}y^{n} dx dy = \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n+1} dy = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{2}} = \zeta (2) \end{equation*} Ardından integrali başka bir yöntemle hesaplayıp $I=\pi^{2}/6$ olduğunu göstereceğiz. Koordinat eksenlerini saat yönünde $\pi/4$ radyan döndürmek için aşağıdaki dönüşümü uygulayalım. \begin{equation*} x = \frac{u-v}{\sqrt{2}}, \ \ \ y = \frac{u+v}{\sqrt{2}}. \end{equation*} Böylece integrandın paydası $1-xy = (2-u^{2}+v^{2})/2$ olur. İntegrali hesaplayacağımız yeni bölge karşıt köşeleri $uv$ düzleminde $(0,0)$ ve $(\sqrt{2},0)$ noktalarında bulunan bir kare olmaktadır. Bu karenin $u$ ekseni etrafındaki simetrisinden faydalanarak, integrali şöyle de ifade edebiliriz. \begin{equation*} I = 4\int_{0}^{1/\sqrt{2}} \left( \int_{0}^{u} \frac{dv}{2-u^{2}+v^{2}} \right) du + 4\int_{1/\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \left( \int_{0}^{\sqrt{2}-u} \frac{dv}{2-u^{2}+v^{2}} \right) du \end{equation*} Şimdi \begin{equation*} \int_{0}^{x} \frac{dt}{a^{2}+t^{2}} = \frac{1}{a} \arctan (x/a) \end{equation*} olduğundan, bu eşitlik kanalıyla aşağıdaki integralleri hemen hesaplayabiliriz. \begin{eqnarray}\nonumber &&\int_{0}^{u} \frac{dv}{2-u^{2}+v^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2-u^{2}}} \arctan \left( \frac{u}{\sqrt{2-u^{2}}} \right) \ \ \ {\rm ve} \\ \nonumber &&\int_{0}^{\sqrt{2}-u} \frac{dv}{2-u^{2}+v^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2-u^{2}}} \arctan \left( \frac{\sqrt{2} - u}{\sqrt{2-u^{2}}} \right) \ \ \ {\rm olur.} \end{eqnarray} Dolayısıyla \begin{eqnarray}\nonumber I_{1} &:=& 4 \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2-u^{2}}} \arctan \left( \frac{u}{\sqrt{2-u^{2}}} \right) du \ \ \ {\rm ve} \\ \nonumber I_{2} &:=& 4 \int_{1/\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2-u^{2}}} \arctan \left(\frac{\sqrt{2} -u}{\sqrt{2-u^{2}}} \right) du \end{eqnarray} tanımlarıyla çalışmayı $I=I_{1}+I_{2}$ şeklinde ikiye bölebiliriz. $I_{1}$ integralinde $u = \sqrt{2} \sin \theta$ koyduğumuzda $du = \sqrt{2}\cos \theta d\theta = \sqrt{2-u^{2}}d\theta$ ve $\tan \theta = u/\sqrt{2-u^{2}}$ olmaktadır. Bu da bize \begin{equation*} I_{1} = 4 \int_{0}^{\pi/6} \theta d\theta = 2 \left( \frac{\pi}{6} \right)^{2} \end{equation*} sonucunu verir.
$I_{2}$ integralinde ise $u=\sqrt{2}\cos 2\theta$ dönüşümü uygulandığında, biraz işlem kalabalığından sonra, $du = -2\sqrt{2}\sin 2\theta d\theta = - 2\sqrt{2} \sqrt{1-\cos^{2}2\theta} d\theta = -2\sqrt{2}\sqrt{1-u^{2}/2} d\theta = -2\sqrt{2-u^{2}}d\theta$ ve dolayısıyla \begin{equation*} \frac{\sqrt{2}-u}{\sqrt{2-u^{2}}} = \frac{\sqrt{2}(1-\cos 2\theta)}{\sqrt{2-2\cos^{2}2\theta}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^{2}\theta}{2\cos^{2}\theta}} = \tan \theta \end{equation*} ve \begin{equation*} I_{2} = 8 \int_{0}^{\pi/6} \theta d\theta = 4 \left( \frac{\pi}{6} \right)^{2} \end{equation*} değerini hesaplarız.
Toplarladığımızda $I=I_{1}+I_{2} = 6 \left( \frac{\pi}{6} \right)^{2} = \frac{\pi^{2}}{6}$ olmaktadır.
Not: P. Stackel'in ortaya attığı bir probleme cevaben F. Goldsheider'ın [3] önerdiği, çift katlı integralleri kullanarak $\zeta(2)$ değerini hesaplayan ve yukarıda önerdiğimizden biraz daha dolambaçlı bir yöntem daha vardır. Orada yazar (Goldsheider) aşağıdaki çift katlı integralleri kullanır \begin{equation*} P = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{dxdy}{1-xy} \ \ \ {\rm ve} \ \ \ Q = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{dxdy}{1+xy} \end{equation*} ve önce $P-Q=P/2$ ya da $P=2Q$ özdeşliklerini gösterir. Öte yandan \begin{equation*} P+Q = \int_{-1}^{1}dy \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+xy} \end{equation*} eşitliğini ve bu integralde $y$ değişkeni için $u=y+\frac{1}{2}x(y^{2}-1)$ dönüşümünü kullandığımızda aşağıdaki ara sonuca erişiriz. \begin{equation*} P+Q = \int_{-1}^{1}du \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+2ux+x^{2}} \end{equation*} Şimdi $u=\cos \varphi$ koyarsak, $(\sin \varphi) / (1+2ux+x^{2}) = \frac{d}{dx} \left( \arctan \frac{x+\cos \varphi}{\sin \varphi} \right)$ ve dolayısıyla \begin{equation*} P+Q = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \varphi d \varphi = \frac{\pi^{2}}{4} \end{equation*} çıkar. Nihayet $P=2Q$ eşitliği, $P=\pi^{2}/6$ sonucunu gerektirir.
Kaynakça
[1] R. Apery (1979) Irrationalite de $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$. Asterisque 61:11-13. Paris: Societe Mathematique de France.[2] F. Beukers (1979) A note on the irrationality of $\zeta(2)$ and $\zeta(3)$, Bull. Lon. Math. Soc. 11:268-272.
[3] F. Goldscheider (1913) Arch. Math. Phys. 20:323-324.
California Teknoloji Enstitüsü
Pasadena, California 91125
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder