Bir tabloya en uygun bakış açısını sağlayan mesafenin hesabı

Soru: Gözlerinin yerden yüksekliği $h$ olan bir gözlemcinin, alt kenarının yerden yüksekliği $L>h$ ve boyu $w$ olan bir tabloyu en geniş bakış açısıyla izlemesi için o tabloya ne kadarlık bir mesafede ($x$) durmalıdır?

Galiba hemen hemen her optik ders kitabında görebileceğiniz ve optikten ziyade temel düzeyde gerçel analiz ve trigonometri ile çözüme kavuşturulabilecek bir soru bu. Her optik kitabında görmüş olsam da şimdiye kadar elime kalemi kağıdı alıp hiç sonuna kadar çözmemiştim. Geçenlerde bir LYS matematik sınavına hazırlık kitabında da görünce bu nitelikli soruyu açıkçası çok sevindim ve çözmek farz oldu.

Soruda bakış açısı diye tavsif edilen açıyı şekilde $\alpha$ ile gösterdik. $\beta$ açısı ise hesaplamalarımızı kolaylaştırması için kullanacağımız yardımcı bir unsur. Ters trigonometrik fonksiyonlar ve soruda verilenler cinsinden aşağıdaki denklemler derhal yazılabilir. \begin{eqnarray}\nonumber \alpha + \beta &=& \arctan \left( \frac{L-h+w}{x} \right) \\ \nonumber \beta &=& \arctan \left(\frac{L-h}{x} \right) \end{eqnarray} Bu iki denklemi taraf tarafa çıkardığımızda optimize etmemiz gereken izleme açısı ortaya çıkar. \begin{equation*} \alpha = \arctan \left( \frac{L-h+w}{x} \right) - \arctan \left(\frac{L-h}{x} \right) \end{equation*} Bu aşamadan sonra artık yapılması gereken basit; çözüm bitti bile diyebiliriz. $\alpha(x)$ fonksiyonunun $x$ değişkenine göre türevi alınacak, bu türev sıfıra eşitlenip kökü soruşturularak problemin çözümü sonlandırılacak.

Her ne kadar çözümü basit bir türev alma ve denklem çözme jimnastiğine indirgemiş olsak da, brüt kuvvet yerine daha nezih ve estetik bir çözüm aramak için ilkin aşağıdaki trigonometrik özdeşlikten faydalanıyoruz. \begin{equation*} \arctan a \pm \arctan b = \arctan \left( \frac{a \pm b}{1 \mp ab} \right) \end{equation*} (Bu özdeşliğin ispatını bilmeyen okur, ikinci dereceden cebirsel denklemlerin kökler toplamı ve çarpımı formüllerinden faydalanarak ispatlamaya çalışmalıdır.) Böylelikle basit cebirsel muameleler sonrasında $\alpha(x)$ fonksiyonu aşağıdaki gibi oluyor. \begin{equation*} \alpha(x) = \arctan \left( \frac{wx}{x^{2} + (L-h+w)(L-h)}\right) \end{equation*} Yukarıdaki trigonometrik özdeşlik sayesinde iki defa arctan fonksiyonunun türevini almak yerine artık sadece bir kere o sevimsiz türevle uğraşacağız. Türev almadan önce problemi parametre kalabalığından kurtarmak amacıyla birimsiz uzaklık nicelliğini tanımlıyoruz. \begin{equation*} x =: \sqrt{(L-h+w)(L-h)} \xi \end{equation*} Bu ifadeyi yerine koyduğumuzda $\alpha$ açısı için verdiğimiz ifade aşağıdaki gibi sadeleşir. \begin{equation*} \alpha (\xi) = \arctan \left( A\frac{\xi}{\xi^{2}+1} \right) \end{equation*} Burada \begin{equation*} A := \frac{w}{\sqrt{(L-h+w)(L-h)}} \end{equation*} eşitliğiyle tanımlanan ve bütün parametrelerin öbeklendiği birimsiz bir parametredir. Yeni değişkenlerde problemimiz sadece bir parametreye bağlılık arz ediyor. Bu kuşkusuz yapmamız gereken işlemlerde bir sadeleşme sunacağı gibi aynı zamanda hata yapma riskimizi de azaltacaktır. Zincir kuralını kullanarak yeni değişken ile optimizasyon şartını ifade edelim. \begin{equation*} 0 = \frac{d \alpha}{dx} = \frac{d \xi}{dx} \frac{d \alpha}{d \xi} = \frac{1}{\sqrt{(L-h+w)(L-h)}} \frac{d \alpha}{d \xi} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 0 = \frac{d \alpha}{d \xi} \end{equation*}

Artık türevi alalım. $u:= \xi/(\xi^{2}+1)$ tanımıyla \begin{equation*} 0 = \frac{d \alpha}{d \xi} = A \frac{\xi^{2}+1-2\xi^{2}}{(\xi^{2}+1)^{2}} \frac{1}{1 + A^{2}u^{2}} \end{equation*} denkleminde sıfır olma ihtimali sadece ilk kesirin pay kısmından gelmekte olup, diğer ifadelerin tamamının pozitif olduğu barizdir. Ama söz konusu payı sıfıra eşitlediğimizde $\xi = \pm 1$ sonucuna hemen ulaşırız. Bu köklerden sadece $\xi = 1$ pozitif bir uzaklık sunduğundan bu kökü kabul edeceğiz. Yerine koyduğumuzda en geniş tablo izleme açısı için mesafenin $x = \sqrt{(L-h+w)(L-h)}$ olduğunu görüyoruz. Söz konusu izleme açısı ise $\alpha = \arctan (A/2)$ olmaktadır.